Teorija, formulas, atrisināts piemērs un pārbaudes jautājumi latviešu valodā. Bezmaksas CE matemātikas sagatavošanās.
Redukcijas formulas izsaka pagrieziena leņķu $90^\circ \pm \alpha$, $180^\circ \pm \alpha$, $270^\circ \pm \alpha$, $360^\circ - \alpha$ un $-\alpha$ sinusu un kosinusu caur viena leņķa $\alpha$ sinusu un kosinusu.
Mērķis vienmēr ir viens un tas pats: novest jebkuru leņķi līdz šauram leņķim $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, kura vērtību jau zinām no galvas vai no formulu lapas.
Periodiskums. Pilns apgrieziens neko nemaina:
$\sin(\alpha + 360^\circ \cdot n) = \sin\alpha$, $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot n) = \cos\alpha$
kur $n$ ir vesels skaitlis; radiānos tas pats ir $\alpha + 2\pi n$. Tāpēc $360^\circ + \alpha$ atsevišķa rinda tabulā nav vajadzīga — tas ir tas pats $\alpha$.
No liela leņķa vispirms atņem pilnos apgriezienus un tikai tad lieto redukciju: $\sin 750^\circ = \sin(750^\circ - 720^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.
Piezīme. Šajā tematā strādājam ar sinusu un kosinusu. Tangensam redukcijas formulas arī ir, bet pagrieziena leņķa tangenss pieder augstākajam līmenim.
Visas šīs formulas nolasāmas no vienības riņķa. Tabula nav jāiekaļ — to var uzbūvēt divos soļos (un eksāmenā tas jādara ātri); kā tieši, rāda nākamā sadaļa.
| Leņķis | Radiānos | $\sin$ | $\cos$ |
|---|---|---|---|
| $-\alpha$ | $-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ |
| $90^\circ - \alpha$ | $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ | $\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ |
| $90^\circ + \alpha$ | $\dfrac{\pi}{2} + \alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ |
| $180^\circ - \alpha$ | $\pi - \alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $180^\circ + \alpha$ | $\pi + \alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ |
| $270^\circ - \alpha$ | $\dfrac{3\pi}{2} - \alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ |
| $270^\circ + \alpha$ | $\dfrac{3\pi}{2} + \alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ |
| $360^\circ - \alpha$ | $2\pi - \alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ |
Divas rindas ir īpaši svarīgas un tām ir savs nosaukums — papildleņķu sakarības: $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ un $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Tieši tāpēc $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$.
Katru redukcijas formulu var uzbūvēt pats divos soļos.
1. solis — vai funkcijas nosaukums mainās?
2. solis — kāda ir zīme? Iedomājies, ka $\alpha$ ir šaurs leņķis. Noskaidro, kurā kvadrantā atrodas sākotnējais leņķis, un paņem zīmi, kāda tajā kvadrantā ir sākotnējai funkcijai. Formulas ir spēkā jebkuram $\alpha$ — šaurs leņķis ir tikai ērts paņēmiens zīmes noteikšanai.
Piemērs $\cos(90^\circ + \alpha)$:
Vēl viens: $\sin(180^\circ + \alpha)$. Skaitīts no $180^\circ$ — nosaukums paliek $\sin$; leņķis ir III kvadrantā, kur sinuss ir negatīvs. Tātad $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$.
Uzdevums: Aprēķini $\sin 150^\circ$, $\cos 210^\circ$ un $\sin(-30^\circ)$.
a) $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$, tāpēc:
$$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$$
Nosaukums palika (skaitīts no $180^\circ$), un II kvadrantā sinuss ir pozitīvs.
b) $210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$, tāpēc:
$$\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Nosaukums palika, bet III kvadrantā kosinuss ir negatīvs.
c) Negatīvs leņķis nozīmē pagriezienu pretējā virzienā:
$$\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\dfrac{1}{2}$$
Atbilde: $\sin 150^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(-30^\circ) = -\dfrac{1}{2}$.
Pārbaude vienības riņķī: $150^\circ$ punkts ir virs $x$ ass (sinuss pozitīvs), $210^\circ$ punkts ir pa kreisi un lejā (abas vērtības negatīvas), $-30^\circ$ punkts ir zem $x$ ass (sinuss negatīvs). Zīmes sakrīt.
Uzdevums: Zināms, ka $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$ un $270^\circ < \alpha < 360^\circ$. Aprēķini $\sin\alpha$.
1. solis. No pamatidentitātes $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$$\sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$$
2. solis. Velkam sakni — abas zīmes: $\sin\alpha = \pm\dfrac{3}{5}$.
3. solis. Izvēlamies zīmi pēc kvadranta. Nosacījums $270^\circ < \alpha < 360^\circ$ nozīmē IV kvadrantu, kur sinuss ir negatīvs.
Atbilde: $\sin\alpha = -\dfrac{3}{5}$.
Kāpēc tā ir tieši redukcijas formula: katru IV kvadranta leņķi var pierakstīt kā $\alpha = 360^\circ - \varphi$, kur $\varphi$ ir šaurs. Tad $\sin\alpha = \sin(360^\circ - \varphi) = -\sin\varphi$, un $\sin\varphi > 0$, tāpēc rezultāts noteikti ir negatīvs. Kvadranta zīme nav jāatceras — to var izsecināt.
Šīs formulas izsaka divu dažādu argumentu summas vai starpības sinusu un kosinusu:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
Kā atcerēties:
No šīm formulām izriet divkārša argumenta formulas — pietiek ielikt $\beta = \alpha$:
$\sin 2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
Tās sīkāk aplūkotas lapā „Divkārša leņķa formulas".
Un no tām izriet arī redukcijas formulas. Piemēram, $\cos(90^\circ - \alpha) = \cos 90^\circ \cos\alpha + \sin 90^\circ \sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha + 1 \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$. Tabulai nav jātic — to var pierādīt.
Uzdevums: Aprēķini $\sin 75^\circ$ precīzi (bez kalkulatora).
1. solis. Sadalām $75^\circ$ divos leņķos, kuru vērtības zinām: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
2. solis. Lietojam summas formulu:
$$\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$
3. solis. Ievietojam pamatvērtības:
$$\sin 75^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
Atbilde: $\sin 75^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Pārbaude ar aptuvenu vērtību: $\sqrt{6} \approx 2{,}449$, $\sqrt{2} \approx 1{,}414$, tātad rezultāts $\approx \dfrac{3{,}863}{4} \approx 0{,}966$. Kalkulators dod $\sin 75^\circ \approx 0{,}966$. Sakrīt.
Ar to pašu paņēmienu iegūst $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ — un tas nav sagadīšanās: $\cos 15^\circ = \sin 75^\circ$ pēc papildleņķu sakarības.
⚠️ $\sin(\alpha + \beta) \neq \sin\alpha + \sin\beta$. Sinuss nav lineārs — iekavas nedrīkst „atvērt".
Pretpiemērs. Ņemam $\alpha = \beta = 45^\circ$:
$1 \neq \sqrt{2}$, tātad apgalvojums ir aplams. Viens pretpiemērs atspēko jebkuru vispārīgu apgalvojumu — otrādi tas nestrādā: pat tūkstoš sakrītošu piemēru neko nepierāda.
⚠️ Tas pats kosinusam: $\cos(\alpha + \beta) \neq \cos\alpha + \cos\beta$. Ar $\alpha = \beta = 60^\circ$: kreisā puse $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, labā puse $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.
⚠️ Kosinusa formulā zīme ir PRETĒJA. $\cos(\alpha + \beta)$ satur mīnusu, $\cos(\alpha - \beta)$ — plusu. Sinusam otrādi: zīme sakrīt ar argumenta zīmi.
⚠️ Redukcijā pazudusi zīme. $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, nevis $\cos\alpha$. Vienmēr pārbaudi 2. soli: kurā kvadrantā leņķis atrodas un kāda tur ir sākotnējās funkcijas zīme.
👩🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →