Matemātikas formulu lapa 7.–12. klasei

Negatīvie skaitļi 7. kl.

Saskaitīšana un atņemšana:

• $a + (-b) = a - b$  (pieskaitīt negatīvu = atņemt)
• $a - (-b) = a + b$  (atņemt negatīvu = pieskaitīt — "mīnus mīnus dod plus")

Reizināšana un dalīšana — zīmju likumi:

Tie paši likumi der dalīšanai.

Parastās daļas 7. kl.

Pirms un pēc darbībām daļu saīsina — dala skaitītāju un saucēju ar to kopīgo dalītāju.

Decimāldaļas un noapaļošana 7. kl.

Noapaļojot līdz noteiktai pozīcijai, skaties uz nākamo ciparu aiz tās:

• ja tas ir $0, 1, 2, 3, 4$ → noapaļo uz leju (ciparu atstāj),
• ja tas ir $5, 6, 7, 8, 9$ → noapaļo uz augšu (ciparu palielina par 1).

Piemēri (noapaļo līdz desmitdaļām):

$3{,}74 \approx 3{,}7$;   $3{,}75 \approx 3{,}8$;   $3{,}96 \approx 4{,}0$

Reizināšana/dalīšana ar 10, 100, 1000 — komats pārlec pa labi/kreisi tik pozīcijas, cik nuļļu.

Procenti 7. kl.

Izmaiņas: palielināt par $p\%$ = reizināt ar $\left(1 + \frac{p}{100}\right)$; samazināt = ar $\left(1 - \frac{p}{100}\right)$.

Attiecības un proporcijas 7. kl.

Krustiskā reizināšana (malējo reizinājums = vidējo reizinājums):

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; a \cdot d = b \cdot c$

Nezināmo proporcijā izsaka: $x = \dfrac{b \cdot c}{a}$ (no $\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$... vienmēr "pretējo reizinājums dalīts ar trešo").

Tiešā proporcionalitāte: abi lielumi aug kopā ($2\times$ vairāk preču → $2\times$ lielāka summa).

Apgrieztā proporcionalitāte: viens aug, otrs sarūk ($2\times$ vairāk strādnieku → $2\times$ mazāk laika).

Algebriskas izteiksmes 7. kl.

Līdzīgo locekļu savilkšana — saskaita koeficientus, burtu daļa paliek:

$5x + 3x = 8x$;   $7a - 2a + a = 6a$

Iekavu atvēršana:

• $+$ priekšā → zīmes nemainās: $a + (b - c) = a + b - c$
• $-$ priekšā → visas zīmes mainās: $a - (b - c) = a - b + c$
• reizinātājs priekšā → reizina katru locekli: $3(2x - 5) = 6x - 15$

Iznešana pirms iekavām (pretējā darbība): $6x + 9 = 3(2x + 3)$.

Vienādojumi — pirmie soļi 7. kl.

Līdzsvaru nesabojā šādas darbības (abām pusēm vienādi):

• pieskaitīt vai atņemt vienu un to pašu skaitli,
• reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli (ne nulli).

Praktiskās sekas — pārnešanas likums: locekli var pārnest uz otru pusi, mainot tā zīmi:

$x + 7 = 12 \;\Rightarrow\; x = 12 - 7 = 5$

$3x = 21 \;\Rightarrow\; x = 21 : 3 = 7$

Leņķi un taisnes 7. kl.

Blakusleņķu summa: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Krustleņķi ir vienādi: $\alpha = \gamma$

Paralēlas taisnes + šķēlēja (transversāle) dod leņķu pārus:

• Iekšējie šķērsleņķi ("Z burts") — vienādi
• Vienpusleņķi (iekšējie vienā pusē, "C burts") — summa $180^\circ$
• Kāpšļu leņķi ("F burts") — vienādi

Koordinātu plakne 7. kl.

Uz $x$ ass visiem punktiem $y = 0$; uz $y$ ass — $x = 0$.

Lineāra funkcija un tās grafiks 7. kl.

Virziena koeficients caur diviem punktiem $(x_1; y_1)$ un $(x_2; y_2)$:

$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Krustpunkts ar $x$ asi: atrisini $kx + b = 0$, t.i., $x = -b/k$.

Lineāras nevienādības 7. kl.

Ar nevienādībām drīkst rīkoties tāpat kā ar vienādojumiem, ar VIENU svarīgu izņēmumu:

Trijstūri: leņķi un vienādība 7. kl.

Divi trijstūri ir vienādi, ja sakrīt:

Vienādsānu trijstūrī ($AB = BC$): leņķi pie pamata $AC$ vienādi; no virsotnes $B$ vilktā mediāna, augstums un bisektrise sakrīt.

Pitagora teorēma 8. kl.

Šie ir pilni veseli skaitļi, kas apmierina $a^2 + b^2 = c^2$. Iegaumē tos — bieži parādās CE.

Reizinājumi arī der: 6-8-10 (3-4-5 × 2), 10-24-26 (5-12-13 × 2), utt.

Teksta uzdevumi 8. kl.

Pārbaude ar mērvienībām. km/h $\cdot$ h $=$ km ✓. Ja mērvienības nesakrīt, formula ir nepareiza — un to var pamanīt, pirms sāc rēķināt.

Monomi un polinomi 8. kl.

Atņemot polinomu, mainās visas atņemamā zīmes:
$(5x + 2) - (3x - 4) = 5x + 2 - 3x + 4 = 2x + 6$

Saīsinātās reizināšanas formulas 8. kl.

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Vārdiski: "pirmā kvadrāts, plus/mīnus dubultreizinājums, plus otrā kvadrāts".

Ievēro: vidējais loceklis ir $2ab$ — dubults reizinājums, un tikai tam mainās zīme.

Lineāri vienādojumi 8. kl.

1. Atbrīvojies no iekavām (izplet).

2. Locekļus ar $x$ pārnes uz vienu pusi, skaitļus — uz otru. Pārnesot loceklim mainās zīme.

3. Savelc līdzīgos locekļus abās pusēs.

4. Izdali ar koeficientu pie $x$.

Ja vienādojumā ir daļas — vispirms reizini visus locekļus ar kopsaucēju.

Pakāpes ar veselu kāpinātāju 8. kl.

Kvadrātsakne 8. kl.

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$  ($a, b \geq 0$)

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$  ($a \geq 0$, $b > 0$)

$(\sqrt{a})^2 = a$,  bet  $\sqrt{a^2} = |a|$

Reizinātāja iznešana no saknes: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Ievietošana zem saknes: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Četrstūri: paralelograms, rombs, taisnstūris 8. kl.

Paralelograma īpašības: pretējās malas vienādas, pretējie leņķi vienādi, diagonāles dalās uz pusēm; blakus leņķu summa $180^\circ$.

Romba diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras un dala leņķus uz pusēm.

Taisnstūra diagonāles ir vienādas.

Statistikas pamati: vidējais, mediāna, moda 8. kl.

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Mediānas algoritms:

1. Sakārto datus augošā secībā.
2. Nepāra skaits → vidējais elements.
3. Pāra skaits → divu vidējo elementu vidējais aritmētiskais.

Amplitūda $= x_{max} - x_{min}$

Riņķis: laukums un garums 8. kl.

Riņķa līnijas garums (apkārtmērs):

$C = 2\pi r = \pi d$

Riņķa laukums:

$S = \pi r^2$

Loka garums (centra leņķis $\alpha$ grādos) un sektora laukums:

$\ell = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$,   $S_{sekt} = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$

Apgrieztā proporcionalitāte un hiperbola 8. kl.

No $x \cdot y = k$ izsakot $y$, iegūstam funkciju $y = \dfrac{k}{x}$. Tās grafiks ir hiperbola — divi atsevišķi zari.

• ja $k > 0$ — zari atrodas I un III ceturksnī;
• ja $k < 0$ — zari atrodas II un IV ceturksnī.

Funkcija nav definēta, kad $x = 0$ (ar nulli nedrīkst dalīt), un $y$ nekad nav $0$ — grafiks tuvojas asīm, bet tās neskar.

Prizma un cilindrs 8. kl.

Tilpums abiem: $V = S_{\text{pamata}} \cdot H$ — pamata laukums reiz augstums.

• Prizmai $S_{\text{pamata}}$ ir pamata daudzstūra laukums.
• Cilindram $S_{\text{pamata}} = \pi r^2$, tātad $V = \pi r^2 H$.

Sānu virsmas laukums: prizmai $= P_{\text{pamata}} \cdot H$ (pamata perimetrs reiz augstums); cilindram $= 2\pi r H$.

Lieluma izteikšana no formulas 8. kl.

Ko dari ar vienu pusi, to dari arī ar otru.

Tas ir viss. Visas pārējās „metodes" ir šī noteikuma pielietojumi:

Kvadrātvienādojumi 9. kl.

Diskriminants:

$D = b^2 - 4ac$

Atkarībā no $D$ zīmes:

Sakņu formula (ja $D \geq 0$):

$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Vjeta teorēma (sakņu summa un reizinājums):

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$,  $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Sin, cos, tan taisnleņķa trijstūrī 9. kl.

Līdzīgi trijstūri 9. kl.

Lai pierādītu, ka 2 trijstūri ir līdzīgi, pietiek ar vienu no:

Līdzību sekas:

• Perimetri attiecas kā $k : 1$
• Laukumi attiecas kā $k^2 : 1$ (laukums proporcionāls kvadrātam!)
• Tilpumi (3D) attiecas kā $k^3 : 1$

Trapeces 9. kl.

Pie vienādsānu trapeces: leņķi pie viena pamata vienādi; diagonāles vienādas.

Izteiksmju sadalīšana reizinājumos 9. kl.

Vienādojumu sistēmas 9. kl.

Pareizais izvēle:

• Ja viens vienādojums vienkārši izsaka mainīgo (piem., $y = 2x - 1$) → aizvietošana
• Ja abi vienādojumi standartformā ($ax + by = c$) → saskaitīšana

Skaitļu virknes (progresijas) 9. kl.

Aritmētiskā progresija ($a_1, a_1+d, a_1+2d, \ldots$):

Ģeometriskā progresija ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$):

Riņķī ievilkti un apvilkti daudzstūri 9. kl.

Ievilkts daudzstūris — visu virsotnes uz vienas riņķa līnijas. Šo riņķi sauc par apvilkto riņķa līniju (apvilkts ap daudzstūri).

Apvilkts daudzstūris — visas sānas pieskaras vienai riņķa līnijai. Šī ir ievilktā riņķa līnija.

Trijstūrim VIENMĒR ir gan ievilktā, gan apvilktā riņķa līnija (citiem daudzstūriem ne vienmēr).

Regulārs daudzstūris (visas sānas un leņķi vienādi) — vienmēr ir ievilkts un apvilkts. Piemērs: vienādmalu trijstūris, kvadrāts, regulārs sešstūris.

Kvadrātfunkcija un tās grafiks 9. kl.

Virsotnes abscisa (x-koordināta): $x_v = -\dfrac{b}{2a}$. Ordinātu iegūst, ievietojot $x_v$ funkcijā.

Krustpunkts ar $y$ asi: $x = 0$ dod $y = c$, tātad punkts $(0;\, c)$.

Krustpunkti ar $x$ asi (nulles) ir kvadrātvienādojuma $ax^2 + bx + c = 0$ saknes (var būt $2$, $1$ vai neviena).

Lineāri vienādojumi 9. kl.

Mērķis — atstāt $x$ vienā pusē, skaitļus otrā:

• Atver iekavas.
• Pārnes locekļus ar $x$ uz vienu pusi, skaitļus uz otru (mainot zīmi).
• Apvieno līdzīgos locekļus.
• Dala abas puses ar koeficientu pie $x$.

Kvadrātvienādojumi (Vjeta) 10. kl.

Diskriminants: $D = b^2 - 4ac$.

• $D > 0$ — divas dažādas saknes,
• $D = 0$ — viena (divkārša) sakne,
• $D < 0$ — reālu sakņu nav.

Sakņu formula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Vjeta teorēma (kad $a=1$): $x_1 + x_2 = -b$ un $x_1 \cdot x_2 = c$.

Pakāpes un saknes 10. kl.

Sakņu īpašības (caur pakāpēm):

• $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$
• $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Funkcijas un to grafiki 10. kl.

Nevienādības 10. kl.

Intervālu apzīmējumi:

• $x > 3$ → $(3; +\infty)$, atvērts (3 NEietverts)
• $x \geq 3$ → $[3; +\infty)$, slēgts (3 IEietverts)
• $-2 < x < 5$ → $(-2; 5)$
• $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$ — divu intervālu apvienojums

Moduļa funkcija |x| 10. kl.

Vienādojums $|x| = a$ (kur $a > 0$): divi atrisinājumi

$x = a$  vai  $x = -a$

(Ja $a = 0$ → $x = 0$; ja $a < 0$ → atrisinājuma nav.)

Nevienādības:

$|x| < a \;\Leftrightarrow\; -a < x < a$  ("starp")

$|x| > a \;\Leftrightarrow\; x < -a$ vai $x > a$  ("ārpus")

Algebriskās daļas un daļveida vienādojumi 10. kl.

Saīsināšana: $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x - 2$ (ja $x \neq -2$).

Saskaitīšana: caur kopsaucēju (tāpat kā parastās daļas).

Reizināšana/dalīšana: taisni pāri / reizina ar apgriezto.

Daļveida vienādojums $\dfrac{A}{B} = 0$: daļa = 0 tieši tad, kad skaitītājs $A = 0$, bet saucējs $B \neq 0$.

Daļveida funkcija (hiperbola) 10. kl.

Funkcija ir nepāra (grafiks simetrisks pret koordinātu sākumpunktu).

Punkts $(x; y)$ pieder hiperbolai $\Leftrightarrow$ reizinājums $x \cdot y = k$ ir konstants.

Kopas un darbības ar tām 10. kl.

Apvienojums $A \cup B$ — elementi, kas pieder $A$ vai $B$ (visi kopā).

Šķēlums $A \cap B$ — elementi, kas pieder $A$ un $B$ (kopīgie).

Starpība $A \setminus B$ — elementi, kas pieder $A$, bet ne $B$.

Elementu skaita formula (ieslēgšanas-izslēgšanas princips):

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Iracionālie vienādojumi 10. kl.

1. Kvadrātsakne nekad nav negatīva.

Pieraksts $\sqrt{\ }$ nozīmē aritmētisko kvadrātsakni, un tā vienmēr ir $\geq 0$. Tāpēc $\sqrt{\text{kaut kas}} = -5$ ir neiespējami — atrisinājuma nav, un to var pateikt uzreiz.

2. Kāpināšana kvadrātā var radīt liekas saknes.

$-3 \neq 3$, bet $(-3)^2 = 3^2$. Kāpinot kvadrātā, zīmju atšķirība pazūd — un ar to var „ienākt" skaitļi, kuru sākotnējā vienādojumā nebija. Tās sauc par svešajām saknēm.

Tāpēc iracionālā vienādojuma atrisinājums nav pabeigts bez pārbaudes. Pārbaude te nav pieklājība, bet risinājuma daļa.

Logaritmi 11. kl.

Šīs piecas formulas atrisina 90% no CE logaritmu uzdevumiem. Iegaumē tās.

Atbalsts kalkulatoram: CE eksāmenā ir pieejams tikai $\lg$ (decimālais) un $\ln$ kalkulators. Citu bāzu logaritmus aprēķini caur bāzes maiņas formulu, piem., $\log_2 5 = \dfrac{\lg 5}{\lg 2}$.

Eksponenciāli vienādojumi 11. kl.

Aritmētiskā progresija 11. kl.

Ģeometriskā progresija 11. kl.

Saliktās funkcijas f(g(x)) 11. kl.

Lai atrastu $f(g(x))$:

1. Paņem ārējās funkcijas $f$ noteikumu.
2. Katrā vietā, kur ir mainīgais, ievieto visu $g(x)$ izteiksmi.
3. Vienkāršo.

Piemērs sagatavošanai: ja $f(t) = t^2 + 1$ un $g(x) = 3x$, tad $f(g(x)) = (3x)^2 + 1 = 9x^2 + 1$.

Skaitliskai vērtībai $f(g(2))$: vispirms $g(2)$, tad ieliek $f$.

Pitagora teorēma 9. kl.

• Hipotenūza: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Katete: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Biežākie veselo skaitļu trijstūri: $(3;4;5)$, $(5;12;13)$, $(8;15;17)$ un to daudzkārtņi (piem. $6;8;10$).

Paralelograms un trapece 9. kl.

• Paralelograma laukums: $S = a \cdot h$ (pamats reiz augstums).
• Trapeces laukums: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$ (pamatu vidējais reiz augstums).

Augstums $h$ vienmēr ir perpendikulārs pamatam, ne sānu mala.

Kubs un prizma 10. kl.

Riņķi un leņķi 10. kl.

Riņķa laukums: $S = \pi r^2$. Apkārtmērs: $C = 2\pi r$.

Sektora laukums: $S_{sekt} = \dfrac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$ (kur $\alpha$ — leņķis grādos).

Vidējais ģeometriskais. Eiklīda teorēma 10. kl.

Augstums $h$ no taisnā leņķa uz hipotenūzu sadala to nogriežņos $p$ un $q$:

$h = \sqrt{p \cdot q}$  (augstums = pamatu vidējais ģeometriskais)

$a = \sqrt{p \cdot c}$,   $b = \sqrt{q \cdot c}$  (katete = projekcijas un hipotenūzas vidējais)

kur $c = p + q$ — hipotenūza, $a, b$ — katetes, $p, q$ — katešu projekcijas uz hipotenūzas.

Vidējo lielumu nevienādība: $\sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2}$ (ģeometriskais ≤ aritmētiskais).

Cilindrs 11. kl.

Piramīda 11. kl.

$V = \dfrac{1}{3} S_{pamata} \cdot h$

Sānu virsma (regulārai piramīdai, $P$ — pamata perimetrs, $m$ — apotēma):

$S_{sānu} = \dfrac{1}{2} P \cdot m$

$S_{pilna} = S_{sānu} + S_{pamata}$

Pitagora sakarības regulārā piramīdā: $l^2 = h^2 + R^2$ un $m^2 = h^2 + r^2$ ($R$, $r$ — pamata apvilktās/ievilktās riņķa līnijas rādiusi).

Stereometrijas pamatlikumi 11. kl.

Taisnes perpendikularitāte plaknei: taisne ir perpendikulāra plaknei, ja tā ir perpendikulāra divām krustojošām taisnēm šajā plaknē.

Trīs perpendikulu teorēma: ja no plaknei perpendikulāra punkta velk slīpu līniju un tās projekciju, tad plaknes taisne, kas perpendikulāra projekcijai, ir perpendikulāra arī slīpajai līnijai.

Divplakņu kakts (dihedrālais leņķis) — leņķis starp divām plaknēm; mēra ar lineāro leņķi (abas malas perpendikulāras šķautnei).

Lode un sfēra 12. kl.

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$

$S = 4\pi R^2$

Šķēluma rādiuss attālumā $d$ no centra:

$r = \sqrt{R^2 - d^2}$

Interesants fakts pārbaudei: sfēras laukums ir tieši 4 lielā riņķa laukumi ($4 \cdot \pi R^2$).

Konuss 12. kl.

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h$

$S_{sānu} = \pi R l$

$S_{pilna} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)$

Salīdzinājumam ar cilindru: konusa tilpums ir tieši trešdaļa no cilindra ar to pašu pamatu un augstumu.

Trigonometrija — pamati 11. kl.

Galvenā identitāte: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Trigonometrijas pamatvērtības 11. kl.

$\tan 90^\circ$ nav definēts, jo $\cos 90^\circ = 0$ un dalīt ar nulli nevar.

Pamatidentitāte $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ 11. kl.

No pamatidentitātes izriet vairākas noderīgas formulas:

Sinusu teorēma 11. kl.

Sinusu teorēma der, ja zināmas vismaz 2 attiecības (sāna + pretī leņķis):

Nelieto, kad: ir tikai 3 sānas bez leņķiem — tad kosinusa teorēma. Vai 2 sānas + iekšleņķis starp tām — arī kosinusa teorēma.

Divkārša leņķa formulas 11. kl.

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Kosinusam ir trīs ekvivalentas formas (ar pamatidentitāti $\sin^2 + \cos^2 = 1$):

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

$\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$

Trigonometrisko funkciju grafiki 11. kl.

Raksturlielumi:

• $y = \sin x$: nulles pie $x = \pi n$; maksimumi pie $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
• $y = \cos x$: nulles pie $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; maksimumi pie $x = 2\pi n$.

Trigonometriskie vienādojumi 12. kl.

Speciālgadījumi (vienkāršāk nekā vispārīgā formula):

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$;   $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;   $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
• $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;   $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$;   $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$

Kosinusu teorēma 12. kl.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

kur $A$ ir leņķis pretī malai $a$ (starp malām $b$ un $c$).

Leņķa atrašanai (zinot visas trīs malas) izsaka kosinusu:

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Kad lietot kuru teorēmu:

• 2 malas + leņķis starp tām, vai 3 malas → kosinusu teorēma
• mala + 2 leņķi, vai 2 malas + leņķis pretī vienai no tām → sinusu teorēma

Vektori (2D) 10. kl.

Taisnes (paralēlas, perpendikulāras) 10. kl.

Specielie gadījumi:

• Horizontāla taisne: $y = b$ (slīpums 0)
• Vertikāla taisne: $x = a$ (slīpuma nav)

Punktu un taišņu attālumi 10. kl.

Attālums starp punktiem:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Nogriežņa viduspunkts:

$M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2};\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Punkta $(x_0; y_0)$ attālums līdz taisnei $ax + by + c = 0$:

$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Riņķa līnijas vienādojums 11. kl.

Kanoniskā forma (centrs $(a; b)$, rādiuss $R$):

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Centrs koordinātu sākumpunktā ($a = b = 0$):

$x^2 + y^2 = R^2$

No izvērstās formas $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ centru un rādiusu atrod, izdalot pilnos kvadrātus.

Parabola, elipse, hiperbola 11. kl.

Parabola: $y = ax^2$ (virsotne sākumpunktā). Virsotne $y = ax^2+bx+c$ parabolai: $x_v = -\dfrac{b}{2a}$.

Elipse:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

$a$ un $b$ — pusass garumi. Ja $a = b$ → riņķa līnija.

Hiperbola:

$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Atšķirības zīme (mīnuss) ir tas, kas atšķir hiperbolu no elipses.

Vektori 3D telpā 11. kl.

Garums (modulis):

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Saskaitīšana / reizināšana ar skaitli: pa koordinātēm.

Skalārais reizinājums:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$

Perpendikularitāte: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0$.

Leņķis: $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.

Plaknes un taisnes telpā 11. kl.

Plakņu paralēlitāte / perpendikularitāte — pēc normālēm $\vec{n_1}, \vec{n_2}$:

• paralēlas: $\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$ (proporcionālas koordinātes),
• perpendikulāras: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Punkta $(x_0;y_0;z_0)$ attālums līdz plaknei $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Kopas un varbūtība 7. kl.

Divu kopu apvienojuma elementu skaits: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Atņem $|A \cap B|$, lai kopīgos elementus neskaitītu divreiz.

Statistika (vidējais, mediāna, moda) 9. kl.

Vidējais: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$.

Mediāna: sakārto augošā secībā; ja $n$ nepāra — vidējais elements; ja pāra — divu vidējo vidējais.

Klasiskā varbūtība 10. kl.

Vispārīgāk: ja $A$ un $B$ var notikt vienlaikus,

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Kombinācijas un faktoriāli 10. kl.

Sakarība: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ (variācijas = kombinācijas × sakārtojumi).

Bernulli shēma 11. kl.

Varbūtība, ka $n$ mēģinājumos veiksme notiek tieši $k$ reizes:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

kur $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — kombinācijas.

Formula sastāv no 3 daļām:

Permutācijas un variācijas 11. kl.

$P_n = n!$

$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{A_n^k}{k!}$

Sakarība: variācija = kombinācija reiz permutācijas: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$.

Nosacītā varbūtība 11. kl.

Nosacītā varbūtība:

$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Reizināšanas likums: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$.

Neatkarīgi notikumi: ja $A$ un $B$ neatkarīgi, tad $P(A|B) = P(A)$ un

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Hiperģeometriskā varbūtība 11. kl.

$P = \dfrac{C_K^k \cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

kur:

• $N$ — kopējais objektu skaits, $K$ — īpašo skaits,
• $n$ — cik izvēlas, $k$ — cik īpašo vēlamies.

Skaitītājs: (kā izvēlēties $k$ īpašos) × (kā izvēlēties pārējos $n-k$ no neīpašajiem). Saucējs: visi veidi izvēlēties $n$ no $N$.

Kvartiles un kastu diagramma 11. kl.

Algoritms:

1. Sakārto datus augošā secībā.
2. $Q_2$ = mediāna (viss dalās uz pusēm).
3. $Q_1$ = apakšējās puses mediāna; $Q_3$ = augšējās puses mediāna.

Kastu diagramma (box plot) attēlo piecus skaitļus: $x_{min}, Q_1, Q_2, Q_3, x_{max}$.

$IQR = Q_3 - Q_1$;   izlecēji: ārpus $[Q_1 - 1{,}5\,IQR;\; Q_3 + 1{,}5\,IQR]$.

Dispersija un standartnovirze 12. kl.

Dispersija ($\bar{x}$ — vidējais aritmētiskais, $n$ — datu skaits):

$D = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

Standartnovirze:

$\sigma = \sqrt{D}$

Algoritms: ① atrodi vidējo $\bar{x}$; ② katrai vērtībai aprēķini novirzi $x_i - \bar{x}$; ③ novirzes kāpini kvadrātā; ④ atrodi kvadrātu vidējo (= dispersija); ⑤ izvelc sakni (= standartnovirze).

Varbūtību sadalījumi un sagaidāmā vērtība 12. kl.

Sagaidāmā vērtība (matemātiskā cerība) $E(X)$ — "vidējais ilgtermiņā":

$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$

Dispersija un standartnovirze:

$D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$,   $\sigma = \sqrt{D(X)}$

Sagaidāmā vērtība lietota risku un ienākumu prognozēšanā (apdrošināšana, azartspēles, investīcijas).

Korelācija un lineārā regresija 12. kl.

Regresijas taisni izmanto prognozēšanai: ievieto $x$ un iegūst prognozēto $y$.

Praksē $r$ un regresijas koeficientus aprēķina ar kalkulatoru vai izklājlapu.

Pilnās varbūtības formula 12. kl.

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + \ldots + P(H_n)P(A|H_n)$

t.i., katra scenārija varbūtība reiz notikuma varbūtība tajā scenārijā, viss saskaitīts.

Nosacījumi: $H_1, \ldots, H_n$ savstarpēji izslēdzoši, $P(H_1) + \ldots + P(H_n) = 1$.

Normālais sadalījums (Gausa līkne) 12. kl.

Normālam sadalījumam datu īpatsvars intervālos ap vidējo:

Ņūtona binoms un Paskāla trijstūris 12. kl.

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \ldots + C_n^n b^n$

Paskāla trijstūris — binomiālie koeficienti; katrs skaitlis = divu virs tā summa:

1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1

$n$-tā rinda dod $(a+b)^n$ koeficientus. Pakāpes: $a$ pakāpe krīt $n \to 0$, $b$ aug $0 \to n$; katra locekļa pakāpju summa vienmēr $n$.

Funkcijas robeža 12. kl.

1. Ievietošana. Ja funkcija punktā ir definēta un nepārtraukta: $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 1) = 5$.

2. Nenoteiktība $\frac{0}{0}$ — sadali reizinātājos un saīsini:

$\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x-a) \cdot p(x)}{(x-a) \cdot q(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{p(x)}{q(x)}$

3. Polinomu attiecība, kad $x \to \infty$ — izšķir vecākie locekļi:

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + x}{5x^2 - 7} = \dfrac{3}{5}$  (vienādas pakāpes → koeficientu attiecība)

Ja skaitītāja pakāpe mazāka → robeža $0$; ja lielāka → robeža $\pm\infty$.

Atvasinājums un atvasināšanas likumi 12. kl.

Likumi: $(cf)' = cf'$; $(f \pm g)' = f' \pm g'$;

$(fg)' = f'g + fg'$,   $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$

Saliktā funkcija: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Atvasinājuma pielietojumi: ekstrēmi 12. kl.

1. Aprēķini $f'(x)$.

2. Atrisini $f'(x) = 0$ → kritiskie punkti.

3. Uzzīmē zīmju tabulu: pārbaudi $f'$ zīmi katrā intervālā starp kritiskajiem punktiem.

4. Zīmju maiņa $+ \to -$ = maksimums; $- \to +$ = minimums.

Lielākā/mazākā vērtība slēgtā intervālā $[a; b]$: salīdzini $f$ vērtības kritiskajos punktos (kas iekrīt intervālā) UN abos galapunktos $f(a)$, $f(b)$. Lielākā no tām — maksimālā vērtība, mazākā — minimālā.

Primitīvā funkcija un integrālis 12. kl.

Ņūtona—Leibnica formula noteiktajam integrālim:

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

Apgrieztās trigonometriskās funkcijas 12. kl.

Pamatvērtības: $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$.

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija 12. kl.

$S = \dfrac{b_1}{1 - q}$,   ja $|q| < 1$

kur $b_1$ — pirmais loceklis, $q$ — kvocients.

Nosacījums kritisks: ja $|q| \geq 1$, summa NEeksistē (aug bezgalīgi vai svārstās).

Pielietojums: bezgalīgu periodisku decimāldaļu pārveidošana parastajā daļā, piem., $0{,}(3) = \frac{1}{3}$.

Inversā funkcija 12. kl.

Algoritms:

1. Pieraksti $y = f(x)$.
2. Samaini vietām $x$ un $y$.
3. Atrisini iegūto vienādojumu par $y$.
4. Iegūtais $y = f^{-1}(x)$.

Pamatīpašība: $f^{-1}(f(x)) = x$ un $f(f^{-1}(x)) = x$ (saliktas dod identitāti).

Definīcijas un vērtību apgabali samainās vietām: $D(f^{-1}) = E(f)$, $E(f^{-1}) = D(f)$.

Polinomi 12. kl.

Bezū teorēma: $P(x)$ atlikums, dalot ar $(x - a)$, ir $P(a)$.

Sekas: $a$ ir polinoma sakne $\Leftrightarrow$ $(x - a)$ ir tā reizinātājs:

$P(a) = 0 \;\Leftrightarrow\; P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$

Veselo sakņu meklēšana: ja koeficienti veseli, veselās saknes ir brīvā locekļa $a_0$ dalītāji.

Atrastu sakni izmanto, lai ar dalīšanu pazeminātu pakāpi (Hornera shēma).

Matemātiskā indukcija 12. kl.

1. Bāze. Pārbauda, ka apgalvojums patiess sākumā, parasti $n = 1$: $P(1)$ patiess.

2. Induktīvā pāreja. Pieņem, ka $P(k)$ patiess (induktīvais pieņēmums), un pierāda, ka tad arī $P(k+1)$ patiess.

Ja abi soļi izdarīti, apgalvojums patiess visiem naturāliem $n$.

$P(1) \;\wedge\; \big(P(k) \Rightarrow P(k+1)\big) \;\Rightarrow\; P(n)\ \forall n$

Kompleksie skaitļi 12. kl.

Saskaitīšana: $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$.

Reizināšana: kā iekavas, ar $i^2 = -1$: $(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Saistītais (konjugētais): $\bar{z} = a - bi$. Reizinājums $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ (reāls!).

Modulis: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (attālums no sākumpunkta).

$i$ pakāpes cikliskas: $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, tad atkārtojas.

Skaitīšanas sistēmas 12. kl.

No bāzes $b$ uz decimālo — katru ciparu reizina ar tā pozīcijas svaru un saskaita:

$\overline{d_n \ldots d_1 d_0}_{(b)} = d_n b^n + \ldots + d_1 b^1 + d_0 b^0$

No decimālās uz bāzi $b$ — dala ar $b$ atkārtoti, pieraksta atlikumus apgrieztā secībā.

Dalāmība un kongruences 12. kl.

Kongruences saskaita un reizina kā vienādojumus: ja $a \equiv b$ un $c \equiv d \pmod m$, tad $a+c \equiv b+d$ un $ac \equiv bd$.

Vienādojumi ar parametru 12. kl.

Vienādojumam $ax^2 + bx + c = 0$ sakņu skaitu nosaka diskriminants $D = b^2 - 4ac$:

Ja pie $x^2$ ir parametrs, obligāti izšķir gadījumu, kad tas ir $0$ (vienādojums kļūst lineārs!).

Nenoteikto koeficientu metode 12. kl.

1. Uzraksti sadalījumu ar nezināmiem koeficientiem: $\dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b}$.

2. Reizini abas puses ar saucēju → iegūsti vienādību ar $A, B$.

3. Atrodi $A, B$: vai nu ievieto ērtas $x$ vērtības (saknes), vai salīdzini koeficientus pie vienādām $x$ pakāpēm.