Divkāršā leņķa formulas — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Divkāršā leņķa formulas.
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

2. Šim uzdevumam. Divkārša leņķa kosinuss: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ (ekvivalenti $2\cos^2\alpha - 1$ vai $1 - 2\sin^2\alpha$).

3. Kāpēc pārējie nav pareizi. $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ (pamatidentitāte, ne $\cos 2\alpha$); $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ (jauc ar $1 - 2\sin^2\alpha$); $2\cos\alpha$ nav divkārša leņķa formula.

Atrisinājums:
1. Formulas. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

2. Atrodam abas pamatvērtības. No $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin\alpha = \dfrac{8}{17}$ un $\cos\alpha = -\dfrac{15}{17}$.
Zīmi nosaka kvadrants: otrajā kvadrantā kosinuss ir negatīvs.

3. Ievietojam. $\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{8}{17} \cdot \left(-\dfrac{15}{17}\right) = -\dfrac{240}{289}$

4. Biežākā kļūda. Aizmirst reizinātāju $2$ vai nepamanīt, ka otrajā kvadrantā kosinuss ir negatīvs — tad zīme sanāk pretēja.

Atrisinājums:
1. Formulas. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

2. Atrodam abas pamatvērtības. No $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ un $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.
Zīmi nosaka kvadrants: pirmajā kvadrantā kosinuss ir pozitīvs.

3. Ievietojam. $\cos 2\alpha = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$

4. Biežākā kļūda. Rakstīt $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ pareizās $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ vietā — atbilde iznāk ar pretēju zīmi. Ievēro arī: $\cos 2\alpha$ zīme NEMAINĀS, jo kosinuss ir kvadrātā.

Atrisinājums:
1. Divkāršā leņķa formulas.
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

2. Šim uzdevumam. Divkāršā leņķa tangenss: $\mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1 - \mathrm{tg}^2\alpha}$.

3. Kāpēc pārējie nav pareizi. Saucējā ir MĪNUS, ne plus; apgrieztā daļa ir $\mathrm{ctg}\, 2\alpha$; $2\mathrm{tg}\,\alpha$ vispār nav divkāršā leņķa formula.

Atrisinājums:
1. Formulas. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

2. Atrodam abas pamatvērtības. No $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin\alpha = \dfrac{7}{25}$ un $\cos\alpha = \dfrac{24}{25}$.
Zīmi nosaka kvadrants: pirmajā kvadrantā kosinuss ir pozitīvs.

3. Ievietojam. $\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{7}{25} \cdot \dfrac{24}{25} = \dfrac{336}{625}$

4. Biežākā kļūda. Aizmirst reizinātāju $2$ vai nepamanīt, ka otrajā kvadrantā kosinuss ir negatīvs — tad zīme sanāk pretēja.

Atrisinājums:
1. Divkāršā leņķa formulas.
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

2. Šim uzdevumam. No $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ un $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ iegūstam $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

3. Kāpēc pārējie nav pareizi. $1 - 2\cos^2\alpha = -\cos 2\alpha$ (pretēja zīme); $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.

Atrisinājums:
1. Formulas. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

2. Atrodam abas pamatvērtības. No $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin\alpha = \dfrac{20}{29}$ un $\cos\alpha = -\dfrac{21}{29}$.
Zīmi nosaka kvadrants: otrajā kvadrantā kosinuss ir negatīvs.

3. Ievietojam. $\cos 2\alpha = \dfrac{441}{841} - \dfrac{400}{841} = \dfrac{41}{841}$

4. Biežākā kļūda. Rakstīt $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ pareizās $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ vietā — atbilde iznāk ar pretēju zīmi. Ievēro arī: $\cos 2\alpha$ zīme NEMAINĀS, jo kosinuss ir kvadrātā.

Atrisinājums:
1. Divkāršā leņķa formulas.
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

2. Šim uzdevumam. No $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ un $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ iegūstam $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.

3. Kāpēc pārējie nav pareizi. $2\sin^2\alpha - 1 = -\cos 2\alpha$; $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, ne $\cos 2\alpha$.

Atrisinājums:
1. Formulas. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

2. Atrodam abas pamatvērtības. No $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin\alpha = \dfrac{15}{17}$ un $\cos\alpha = \dfrac{8}{17}$.
Zīmi nosaka kvadrants: pirmajā kvadrantā kosinuss ir pozitīvs.

3. Ievietojam. $\cos 2\alpha = \dfrac{64}{289} - \dfrac{225}{289} = -\dfrac{161}{289}$

4. Biežākā kļūda. Rakstīt $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ pareizās $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ vietā — atbilde iznāk ar pretēju zīmi. Ievēro arī: $\cos 2\alpha$ zīme NEMAINĀS, jo kosinuss ir kvadrātā.

Atrisinājums:
1. Formulas. $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

2. Atrodam abas pamatvērtības. No $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin\alpha = \dfrac{20}{29}$ un $\cos\alpha = \dfrac{21}{29}$.
Zīmi nosaka kvadrants: pirmajā kvadrantā kosinuss ir pozitīvs.

3. Ievietojam. $\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{20}{29} \cdot \dfrac{21}{29} = \dfrac{840}{841}$

4. Biežākā kļūda. Aizmirst reizinātāju $2$ vai nepamanīt, ka otrajā kvadrantā kosinuss ir negatīvs — tad zīme sanāk pretēja.