5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $35$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $120$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $33$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{5}$ ir $4$ soļi pa $6$, tāpēc kopējā maiņa ir $24$. Sākot no $5$, beigu vērtība ir $29$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. Kāpēc tā? Saliekot pirmo un pēdējo, otro un priekšpēdējo, ..., katra pāra summa ir $a_1 + a_n$ (tāpēc, ka aritmētiskajā progresijā simetriski no abām galām pāru summas ir vienādas). Pāru ir $\dfrac{n}{2}$, tāpēc $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $1$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $5 - 3 = 2$, tāpēc $d = 2$. • $3$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $5 - 3 = 2$, tāpēc $d = 2$. • $4$ — aizmirsts DALĪT ar lēcienu skaitu $(n - m)$. Tā ir kopējā izmaiņa, ne izmaiņa uz vienu soli.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-22$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $84$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-15$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{5}$ ir $4$ soļi pa $-3$, tāpēc kopējā maiņa ir $-12$. Sākot no $-7$, beigu vērtība ir $-19$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. Kāpēc tā? Saliekot pirmo un pēdējo, otro un priekšpēdējo, ..., katra pāra summa ir $a_1 + a_n$ (tāpēc, ka aritmētiskajā progresijā simetriski no abām galām pāru summas ir vienādas). Pāru ir $\dfrac{n}{2}$, tāpēc $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $7 - 2 = 5$, tāpēc $d = 5$. • $25$ — aizmirsts DALĪT ar lēcienu skaitu $(n - m)$. Tā ir kopējā izmaiņa, ne izmaiņa uz vienu soli. • $10$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $7 - 2 = 5$, tāpēc $d = 5$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $26$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $128$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $32$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{9}$ ir $8$ soļi pa $2$, tāpēc kopējā maiņa ir $16$. Sākot no $8$, beigu vērtība ir $24$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
2. Kāpēc tā? Saliekot pirmo un pēdējo, otro un priekšpēdējo, ..., katra pāra summa ir $a_1 + a_n$ (tāpēc, ka aritmētiskajā progresijā simetriski no abām galām pāru summas ir vienādas). Pāru ir $\dfrac{n}{2}$, tāpēc $S_n = \dfrac{n}{2}(a_1 + a_n)$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $48$ — aprēķina kļūda; summa ir $96$. • $26$ — aprēķina kļūda; summa ir $96$. • $16$ — aprēķināts tikai vidējais loceklis, aizmirsts reizināt ar $n$.
6. Pārbaude — vidējais loceklis. Vidējais aritmētiskais ir $\dfrac{a_1 + a_n}{2} = 16$. Reizinot ar $n = 6$, iegūstam $96$ ✓
7. Alternatīvs formula. $S_n = \dfrac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ — ja nav viegli atrast $a_n$, var ievietot tieši šajā formā.
9. uzdevums
Aritmētiskā progresija: $a_5 = 15$ un $a_8 = 24$. Atrast diferenci $d$.
A) $3$
B) $6$
C) $9$
D) $4$
Pareizā atbilde: A) $3$
Atrisinājums: 1. Pamatprincips. Aritmētiskā progresijā, lai pārietu no $a_m$ uz $a_n$ ($n > m$), vajag $(n - m)$ "lēcienus" pa $d$.
2. Pielieto formulu. $a_n = a_m + (n - m) \cdot d$, tāpēc $d = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}$.
3. Atzīmē, kas dots. $a_5 = 15$, $a_8 = 24$. Atrod $d$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — aizmirsts DALĪT ar lēcienu skaitu $(n - m)$. Tā ir kopējā izmaiņa, ne izmaiņa uz vienu soli. • $6$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $8 - 5 = 3$, tāpēc $d = 3$. • $4$ — lēcienu skaits saskaitīts nepareizi; pareizi $8 - 5 = 3$, tāpēc $d = 3$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-27$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $135$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-19$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.
6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{6}$ ir $5$ soļi pa $-3$, tāpēc kopējā maiņa ir $-15$. Sākot no $-9$, beigu vērtība ir $-24$ ✓
7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.
👩🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →