Ģeometriskā progresija — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = -2$, $n = 4$.

5. Aprēķini.
$b_{4} = 1 \cdot -2^{3}$
$-2^{3} = -8$
$b_{4} = 1 \cdot -8 = -8$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-5$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-2$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = -2$, $b_3 = 4$, $b_4 = -8$. ✓

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 6$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{6} = 64$
$q^n - 1 = 63$
$b_1(q^n - 1) = 1 \cdot 63 = 63$
$q - 1 = 1$
$S_6 = \dfrac{63}{1} = 63$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $1$ — aprēķina kļūda; $S_{6} = 63$.
• $32{,}5$ — vidējots pirmais un pēdējais loceklis; tas der aritmētiskajai, ne ģeometriskajai progresijai.
• $12$ — lietota aritmētiskās progresijas doma ($n \cdot b_1 \cdot q$); ģeometriskajai vajag $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 5$.

5. Aprēķini.
$b_{5} = 1 \cdot 3^{4}$
$3^{4} = 81$
$b_{5} = 1 \cdot 81 = 81$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $243$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $13$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $3$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = 3$, $b_3 = 9$, $b_4 = 27$, $b_5 = 81$. ✓

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 4$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 3^{4} = 81$
$q^n - 1 = 80$
$b_1(q^n - 1) = 2 \cdot 80 = 160$
$q - 1 = 2$
$S_4 = \dfrac{160}{2} = 80$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $40$ — aprēķina kļūda; $S_{4} = 80$.
• $54$ — atbildēts $n$-tais loceklis, ne summa.
• $162$ — paņemts tikai $b_1 q^n$, tas ir viens loceklis, ne summa.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $2 + 6 + 18 + 54 = 80$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 2$, $n = 5$.

5. Aprēķini.
$b_{5} = 1 \cdot 2^{4}$
$2^{4} = 16$
$b_{5} = 1 \cdot 16 = 16$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $32$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $9$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $2$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = 2$, $b_3 = 4$, $b_4 = 8$, $b_5 = 16$. ✓

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 4$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{4} = 16$
$q^n - 1 = 15$
$b_1(q^n - 1) = 3 \cdot 15 = 45$
$q - 1 = 1$
$S_4 = \dfrac{45}{1} = 45$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9{,}5$ — vidējots pirmais un pēdējais loceklis; tas der aritmētiskajai, ne ģeometriskajai progresijai.
• $90$ — aprēķina kļūda; $S_{4} = 45$.
• $48$ — paņemts tikai $b_1 q^n$, tas ir viens loceklis, ne summa.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $3 + 6 + 12 + 24 = 45$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 5$, $q = 2$, $n = 3$.

5. Aprēķini.
$b_{3} = 5 \cdot 2^{2}$
$2^{2} = 4$
$b_{3} = 5 \cdot 4 = 20$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $40$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $9$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $250$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 5$, $b_2 = 10$, $b_3 = 20$. ✓

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = 3$, $n = 4$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 3^{4} = 81$
$q^n - 1 = 80$
$b_1(q^n - 1) = 3 \cdot 80 = 240$
$q - 1 = 2$
$S_4 = \dfrac{240}{2} = 120$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $243$ — paņemts tikai $b_1 q^n$, tas ir viens loceklis, ne summa.
• $240$ — aprēķina kļūda; $S_{4} = 120$.
• $121$ — aprēķina kļūda; $S_{4} = 120$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = -2$, $n = 5$.

5. Aprēķini.
$b_{5} = 1 \cdot -2^{4}$
$-2^{4} = 16$
$b_{5} = 1 \cdot 16 = 16$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-32$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-7$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-2$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = -2$, $b_3 = 4$, $b_4 = -8$, $b_5 = 16$. ✓

Atrisinājums:
1. Galīgas ģeometriskās progresijas summa.
$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (kad $q \ne 1$).

2. Kāpēc tā? $S_n = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + \ldots + b_1 q^{n-1}$. Reizinot ar $q$ un atvelcot: $qS_n - S_n = b_1 q^n - b_1 = b_1(q^n - 1)$, no kā $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.

3. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = 2$, $n = 5$.

4. Aprēķini soli pa solim.
$q^n = 2^{5} = 32$
$q^n - 1 = 31$
$b_1(q^n - 1) = 3 \cdot 31 = 93$
$q - 1 = 1$
$S_5 = \dfrac{93}{1} = 93$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $47$ — aprēķina kļūda; $S_{5} = 93$.
• $3$ — aprēķina kļūda; $S_{5} = 93$.
• $186$ — aprēķina kļūda; $S_{5} = 93$.
6. Pārbaude (uzskaitot virkni). $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ ✓

7. Speciālgadījums. Ja $q = 1$, formula nestrādā (saucējs = 0). Tādā gadījumā visi locekļi vienādi un $S_n = n \cdot b_1$.