Pamatidentitātes (sin²+cos²=1) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Trigonometrijas pamatidentitāte. Jebkuram leņķim $\alpha$ pastāv:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Tā ir identitāte — patiesa visiem leņķiem, ne tikai dažiem.

2. Ģeometriskais pamatojums. Vienības riņķī (rādius $1$) jebkuram punktam koordinātes ir $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Pēc Pitagora teorēmas, attālums no centra: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$. Kāpinot kvadrātā: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

3. Pielieto soli pa solim. Dots: $\sin\alpha = \dfrac{8}{17}$, $\alpha$ ir asais leņķis (tāpēc $\cos\alpha > 0$).
Izsakām $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{64}{289} = \dfrac{289 - 64}{289} = \dfrac{225}{289}$
Sakņojam (asajam leņķim — pozitīvā vērtība):
$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{225}{289}} = \dfrac{15}{17}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\dfrac{8}{17}$ — skolēns kopējis $\sin\alpha$ vērtību kā $\cos\alpha$, jaucot, ka šīs ir DAŽĀDAS funkcijas. Ar pamatidentitāti tās ir saistītas, bet vienādas tikai pie $\alpha = 45°$.
• $\dfrac{17}{15}$ — skolēns apgriezis pareizo daļu (skaitītāja un saucēja vietā), iegūstot $\sec\alpha = \dfrac{1}{\cos\alpha}$. Sekants nav kosinuss.
• $\dfrac{15}{8}$ — skolēns sajaucis $\cos\alpha$ ar $\cot\alpha = \dfrac{\cos}{\sin}$. Tas ir pavisam cita trigonometriska attiecība.

5. Pārbaude. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{64}{289} + \dfrac{225}{289} = \dfrac{289}{289} = \dfrac{289}{289} = 1$ ✓
Tas atbilst arī Pitagora trijniekam $8$-$15$-$17$.

Atrisinājums:
1. Pamatidentitāte. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — patiesa jebkuram leņķim, arī ar negatīvām vērtībām.

2. Atrodam lielumu. $\cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{20}{29}\right)^2 = 1 - \dfrac{400}{841} = \dfrac{441}{841}$
Sakņojot: lielums ir $\dfrac{21}{29}$. Ievēro — kāpinot kvadrātā, dotā zīme pazuda, tāpēc pagaidām zinām tikai lielumu.

3. Zīmi nosaka kvadrants. Otrajā kvadrantā $\cos\alpha$ ir negatīvs.
Atceries pēc vienības riņķa: kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā. II kvadrantā punkts ir pa kreisi un augšā.

4. Atbilde. $\cos\alpha = -\dfrac{21}{29}$

5. Kāpēc te visbiežāk kļūdās. Sakne no kvadrāta dod DIVAS vērtības. Bez kvadranta uzdevumam nebūtu vienas atbildes — tāpēc kvadrants ir dots, un to nedrīkst ignorēt.

Atrisinājums:
1. Trigonometrijas pamatidentitāte. Jebkuram leņķim $\alpha$ pastāv:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Tā ir identitāte — patiesa visiem leņķiem, ne tikai dažiem.

2. Ģeometriskais pamatojums. Vienības riņķī (rādius $1$) jebkuram punktam koordinātes ir $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Pēc Pitagora teorēmas, attālums no centra: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$. Kāpinot kvadrātā: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

3. Pielieto soli pa solim. Dots: $\sin\alpha = \dfrac{7}{25}$, $\alpha$ ir asais leņķis (tāpēc $\cos\alpha > 0$).
Izsakām $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{49}{625} = \dfrac{625 - 49}{625} = \dfrac{576}{625}$
Sakņojam (asajam leņķim — pozitīvā vērtība):
$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{576}{625}} = \dfrac{24}{25}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\dfrac{7}{25}$ — skolēns kopējis $\sin\alpha$ vērtību kā $\cos\alpha$, jaucot, ka šīs ir DAŽĀDAS funkcijas. Ar pamatidentitāti tās ir saistītas, bet vienādas tikai pie $\alpha = 45°$.
• $\dfrac{25}{24}$ — skolēns apgriezis pareizo daļu (skaitītāja un saucēja vietā), iegūstot $\sec\alpha = \dfrac{1}{\cos\alpha}$. Sekants nav kosinuss.
• $\dfrac{24}{7}$ — skolēns sajaucis $\cos\alpha$ ar $\cot\alpha = \dfrac{\cos}{\sin}$. Tas ir pavisam cita trigonometriska attiecība.

5. Pārbaude. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{49}{625} + \dfrac{576}{625} = \dfrac{625}{625} = \dfrac{625}{625} = 1$ ✓
Tas atbilst arī Pitagora trijniekam $7$-$24$-$25$.

Atrisinājums:
1. Pamatidentitāte. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — patiesa jebkuram leņķim, arī ar negatīvām vērtībām.

2. Atrodam lielumu. $\cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{8}{17}\right)^2 = 1 - \dfrac{64}{289} = \dfrac{225}{289}$
Sakņojot: lielums ir $\dfrac{15}{17}$. Ievēro — kāpinot kvadrātā, dotā zīme pazuda, tāpēc pagaidām zinām tikai lielumu.

3. Zīmi nosaka kvadrants. Trešajā kvadrantā $\cos\alpha$ ir negatīvs.
Atceries pēc vienības riņķa: kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā. III kvadrantā punkts ir pa kreisi un lejā.

4. Atbilde. $\cos\alpha = -\dfrac{15}{17}$

5. Kāpēc te visbiežāk kļūdās. Sakne no kvadrāta dod DIVAS vērtības. Bez kvadranta uzdevumam nebūtu vienas atbildes — tāpēc kvadrants ir dots, un to nedrīkst ignorēt.

Atrisinājums:
1. Trigonometrijas pamatidentitāte. Jebkuram leņķim $\alpha$ pastāv:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Tā ir identitāte — patiesa visiem leņķiem, ne tikai dažiem.

2. Ģeometriskais pamatojums. Vienības riņķī (rādius $1$) jebkuram punktam koordinātes ir $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Pēc Pitagora teorēmas, attālums no centra: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$. Kāpinot kvadrātā: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

3. Pielieto soli pa solim. Dots: $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $\alpha$ ir asais leņķis (tāpēc $\cos\alpha > 0$).
Izsakām $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{25 - 9}{25} = \dfrac{16}{25}$
Sakņojam (asajam leņķim — pozitīvā vērtība):
$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\dfrac{3}{5}$ — skolēns kopējis $\sin\alpha$ vērtību kā $\cos\alpha$, jaucot, ka šīs ir DAŽĀDAS funkcijas. Ar pamatidentitāti tās ir saistītas, bet vienādas tikai pie $\alpha = 45°$.
• $\dfrac{5}{4}$ — skolēns apgriezis pareizo daļu (skaitītāja un saucēja vietā), iegūstot $\sec\alpha = \dfrac{1}{\cos\alpha}$. Sekants nav kosinuss.
• $\dfrac{4}{3}$ — skolēns sajaucis $\cos\alpha$ ar $\cot\alpha = \dfrac{\cos}{\sin}$. Tas ir pavisam cita trigonometriska attiecība.

5. Pārbaude. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = \dfrac{25}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$ ✓
Tas atbilst arī Pitagora trijniekam $3$-$4$-$5$.

Atrisinājums:
1. Trigonometrijas pamatidentitāte. Jebkuram leņķim $\alpha$ pastāv:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Tā ir identitāte — patiesa visiem leņķiem, ne tikai dažiem.

2. Ģeometriskais pamatojums. Vienības riņķī (rādius $1$) jebkuram punktam koordinātes ir $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Pēc Pitagora teorēmas, attālums no centra: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$. Kāpinot kvadrātā: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

3. Pielieto soli pa solim. Dots: $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, $\alpha$ ir asais leņķis (tāpēc $\cos\alpha > 0$).
Izsakām $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{169 - 25}{169} = \dfrac{144}{169}$
Sakņojam (asajam leņķim — pozitīvā vērtība):
$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{144}{169}} = \dfrac{12}{13}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\dfrac{5}{13}$ — skolēns kopējis $\sin\alpha$ vērtību kā $\cos\alpha$, jaucot, ka šīs ir DAŽĀDAS funkcijas. Ar pamatidentitāti tās ir saistītas, bet vienādas tikai pie $\alpha = 45°$.
• $\dfrac{13}{12}$ — skolēns apgriezis pareizo daļu (skaitītāja un saucēja vietā), iegūstot $\sec\alpha = \dfrac{1}{\cos\alpha}$. Sekants nav kosinuss.
• $\dfrac{12}{5}$ — skolēns sajaucis $\cos\alpha$ ar $\cot\alpha = \dfrac{\cos}{\sin}$. Tas ir pavisam cita trigonometriska attiecība.

5. Pārbaude. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{25}{169} + \dfrac{144}{169} = \dfrac{169}{169} = \dfrac{169}{169} = 1$ ✓
Tas atbilst arī Pitagora trijniekam $5$-$12$-$13$.

Atrisinājums:
1. Pamatidentitāte. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — patiesa jebkuram leņķim, arī ar negatīvām vērtībām.

2. Atrodam lielumu. $\sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{12}{13}\right)^2 = 1 - \dfrac{144}{169} = \dfrac{25}{169}$
Sakņojot: lielums ir $\dfrac{5}{13}$. Ievēro — kāpinot kvadrātā, dotā zīme pazuda, tāpēc pagaidām zinām tikai lielumu.

3. Zīmi nosaka kvadrants. Ceturtajā kvadrantā $\sin\alpha$ ir negatīvs.
Atceries pēc vienības riņķa: kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā. IV kvadrantā punkts ir pa labi un lejā.

4. Atbilde. $\sin\alpha = -\dfrac{5}{13}$

5. Kāpēc te visbiežāk kļūdās. Sakne no kvadrāta dod DIVAS vērtības. Bez kvadranta uzdevumam nebūtu vienas atbildes — tāpēc kvadrants ir dots, un to nedrīkst ignorēt.

Atrisinājums:
1. Pamatidentitāte. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — patiesa jebkuram leņķim, arī ar negatīvām vērtībām.

2. Atrodam lielumu. $\cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$
Sakņojot: lielums ir $\dfrac{4}{5}$. Ievēro — kāpinot kvadrātā, dotā zīme pazuda, tāpēc pagaidām zinām tikai lielumu.

3. Zīmi nosaka kvadrants. Trešajā kvadrantā $\cos\alpha$ ir negatīvs.
Atceries pēc vienības riņķa: kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā. III kvadrantā punkts ir pa kreisi un lejā.

4. Atbilde. $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$

5. Kāpēc te visbiežāk kļūdās. Sakne no kvadrāta dod DIVAS vērtības. Bez kvadranta uzdevumam nebūtu vienas atbildes — tāpēc kvadrants ir dots, un to nedrīkst ignorēt.

Atrisinājums:
1. Trigonometrijas pamatidentitāte. Jebkuram leņķim $\alpha$ pastāv:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Tā ir identitāte — patiesa visiem leņķiem, ne tikai dažiem.

2. Ģeometriskais pamatojums. Vienības riņķī (rādius $1$) jebkuram punktam koordinātes ir $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Pēc Pitagora teorēmas, attālums no centra: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$. Kāpinot kvadrātā: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

3. Pielieto soli pa solim. Dots: $\sin\alpha = \dfrac{9}{41}$, $\alpha$ ir asais leņķis (tāpēc $\cos\alpha > 0$).
Izsakām $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{81}{1681} = \dfrac{1681 - 81}{1681} = \dfrac{1600}{1681}$
Sakņojam (asajam leņķim — pozitīvā vērtība):
$\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{1600}{1681}} = \dfrac{40}{41}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\dfrac{9}{41}$ — skolēns kopējis $\sin\alpha$ vērtību kā $\cos\alpha$, jaucot, ka šīs ir DAŽĀDAS funkcijas. Ar pamatidentitāti tās ir saistītas, bet vienādas tikai pie $\alpha = 45°$.
• $\dfrac{41}{40}$ — skolēns apgriezis pareizo daļu (skaitītāja un saucēja vietā), iegūstot $\sec\alpha = \dfrac{1}{\cos\alpha}$. Sekants nav kosinuss.
• $\dfrac{40}{9}$ — skolēns sajaucis $\cos\alpha$ ar $\cot\alpha = \dfrac{\cos}{\sin}$. Tas ir pavisam cita trigonometriska attiecība.

5. Pārbaude. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{81}{1681} + \dfrac{1600}{1681} = \dfrac{1681}{1681} = \dfrac{1681}{1681} = 1$ ✓
Tas atbilst arī Pitagora trijniekam $9$-$40$-$41$.

Atrisinājums:
1. Pamatidentitāte. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — patiesa jebkuram leņķim, arī ar negatīvām vērtībām.

2. Atrodam lielumu. $\sin^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{21}{29}\right)^2 = 1 - \dfrac{441}{841} = \dfrac{400}{841}$
Sakņojot: lielums ir $\dfrac{20}{29}$. Ievēro — kāpinot kvadrātā, dotā zīme pazuda, tāpēc pagaidām zinām tikai lielumu.

3. Zīmi nosaka kvadrants. Ceturtajā kvadrantā $\sin\alpha$ ir negatīvs.
Atceries pēc vienības riņķa: kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā. IV kvadrantā punkts ir pa labi un lejā.

4. Atbilde. $\sin\alpha = -\dfrac{20}{29}$

5. Kāpēc te visbiežāk kļūdās. Sakne no kvadrāta dod DIVAS vērtības. Bez kvadranta uzdevumam nebūtu vienas atbildes — tāpēc kvadrants ir dots, un to nedrīkst ignorēt.