Trig. vienādojumi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $4\mathrm{tg}\, x = 4$.

1.a Izolējam funkciju. Dalām abas puses ar $4$: $\mathrm{tg}\, x = 1$.

2. Pamatvērtība. No tangensa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{\pi}{4}$.

3. Pārējās saknes. Tangensa periods ir $\pi$, tāpēc nākamo sakni dod $x_1 + \pi$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{\pi}{4};\; \dfrac{5\pi}{4}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $\sin x = 0$.

2. Pamatvērtība. No sinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = 0$.

3. Pārējās saknes. Te sanāk trīs saknes: sinuss ir nulle punktos $0$ un $\pi$, un intervāla labais gals $2\pi$ arī pieder intervālam un arī dod nulli. Ja intervāls būtu $[0;\, 2\pi)$, sakņu būtu divas.

4. Atbilde. $x = 0;\; \pi;\; 2\pi$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Pamatvērtība. No kosinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{5\pi}{6}$.

3. Pārējās saknes. Kosinuss ir vienāds divos punktos, kas simetriski pret $x=\pi$: otro sakni dod $2\pi - x_1$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{5\pi}{6};\; \dfrac{7\pi}{6}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $2\cos x = -2$.

1.a Izolējam funkciju. Dalām abas puses ar $2$: $\cos x = -1$.

2. Pamatvērtība. No kosinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \pi$.

3. Pārējās saknes. Šī ir vienīgā sakne intervālā $[0;\, 2\pi]$: kosinuss sasniedz galējo vērtību $-1$ tikai vienu reizi, tāpēc otras saknes te nav.

4. Atbilde. $x = \pi$.

5. Biežākā kļūda. Meklēt otru sakni tur, kur tās nav — pie galējām vērtībām $\pm 1$ sakne intervālā ir tikai viena.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $\mathrm{tg}\, x = 1$.

2. Pamatvērtība. No tangensa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{\pi}{4}$.

3. Pārējās saknes. Tangensa periods ir $\pi$, tāpēc nākamo sakni dod $x_1 + \pi$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{\pi}{4};\; \dfrac{5\pi}{4}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $2\mathrm{tg}\, x = 2\sqrt{3}$.

1.a Izolējam funkciju. Dalām abas puses ar $2$: $\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}$.

2. Pamatvērtība. No tangensa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{\pi}{3}$.

3. Pārējās saknes. Tangensa periods ir $\pi$, tāpēc nākamo sakni dod $x_1 + \pi$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{\pi}{3};\; \dfrac{4\pi}{3}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $2\cos x = -\sqrt{3}$.

1.a Izolējam funkciju. Dalām abas puses ar $2$: $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Pamatvērtība. No kosinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{5\pi}{6}$.

3. Pārējās saknes. Kosinuss ir vienāds divos punktos, kas simetriski pret $x=\pi$: otro sakni dod $2\pi - x_1$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{5\pi}{6};\; \dfrac{7\pi}{6}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Pamatvērtība. No kosinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{3\pi}{4}$.

3. Pārējās saknes. Kosinuss ir vienāds divos punktos, kas simetriski pret $x=\pi$: otro sakni dod $2\pi - x_1$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{3\pi}{4};\; \dfrac{5\pi}{4}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $2\sin x = -1$.

1.a Izolējam funkciju. Dalām abas puses ar $2$: $\sin x = -\dfrac{1}{2}$.

2. Pamatvērtība. No sinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = \dfrac{7\pi}{6}$.

3. Pārējās saknes. Sinuss ir vienāds divos punktos, kas simetriski pret $x=\dfrac{\pi}{2}$: otro sakni dod $\pi - x_1$.

4. Atbilde. $x = \dfrac{7\pi}{6};\; \dfrac{11\pi}{6}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.

Atrisinājums:
1. Ko meklējam. Visas $x$ vērtības intervālā $[0;\, 2\pi]$, kurām $3\sin x = 0$.

1.a Izolējam funkciju. Dalām abas puses ar $3$: $\sin x = 0$.

2. Pamatvērtība. No sinusa tabulas atrodam pirmo sakni: $x_1 = 0$.

3. Pārējās saknes. Te sanāk trīs saknes: sinuss ir nulle punktos $0$ un $\pi$, un intervāla labais gals $2\pi$ arī pieder intervālam un arī dod nulli. Ja intervāls būtu $[0;\, 2\pi)$, sakņu būtu divas.

4. Atbilde. $x = 0;\; \pi;\; 2\pi$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt sinusa un kosinusa tabulu vai atrast tikai vienu sakni no visām.