Kopas un varbūtība — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē katrs apzīmējums.
$A \cup B$ (apvienojums) — visi elementi, kas ir VISMAZ VIENĀ kopā.
$A \cap B$ (šķēlums) — tikai tie, kas ir ABĀS kopās.

2. Šim uzdevumam. Abās kopās vienlaikus ir $1$ elements: $\{7\}$.
Šķēlumā ir tikai kopīgie elementi, tātad $1$.

3. Biežākā kļūda. Apvienojumā saskaitīt $5 + 6 = 11$, aizmirstot, ka kopīgie elementi tiktu ieskaitīti divreiz.

Atrisinājums:
1. Pilna pārlase. Skaitlim ir divas pozīcijas — desmiti un vieni.

2. Cik izvēļu katrā pozīcijā.
Desmitu vietā: $2$ izvēles.
Vienu vietā: atkal $2$, jo ciparu drīkst atkārtot.

3. Reizinām. $2 \cdot 2 = 4$.

4. Biežākā kļūda. Izvēles SASKAITĪT, nevis sareizināt. Ja katrai pirmās pozīcijas izvēlei ir vairākas otrās, tad reizina.

Atrisinājums:
1. Visu iznākumu skaits. Bumbiņu kopā: $5 + 6 + 2 = 13$.

2. Labvēlīgie iznākumi. Zaļas bumbiņas ir $2$.

3. Varbūtība. $P = \dfrac{2}{13} = \dfrac{2}{13}$.

4. Biežākā kļūda. Saucējā likt tikai PĀRĒJO bumbiņu skaitu. Saucējā vienmēr ir VISI iespējamie iznākumi, arī labvēlīgie.

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē katrs apzīmējums.
$A \cup B$ (apvienojums) — visi elementi, kas ir VISMAZ VIENĀ kopā.
$A \cap B$ (šķēlums) — tikai tie, kas ir ABĀS kopās.

2. Šim uzdevumam. Abās kopās vienlaikus ir $2$ elementi: $\{3; 7\}$.
Šķēlumā ir tikai kopīgie elementi, tātad $2$.

3. Biežākā kļūda. Apvienojumā saskaitīt $4 + 6 = 10$, aizmirstot, ka kopīgie elementi tiktu ieskaitīti divreiz.

Atrisinājums:
1. Pilna pārlase. Skaitlim ir divas pozīcijas — desmiti un vieni.

2. Cik izvēļu katrā pozīcijā.
Desmitu vietā: $2$ izvēles.
Vienu vietā: $1$, jo pirmais cipars vairs nav pieejams.

3. Reizinām. $2 \cdot 1 = 2$.

4. Biežākā kļūda. Izvēles SASKAITĪT, nevis sareizināt. Ja katrai pirmās pozīcijas izvēlei ir vairākas otrās, tad reizina.

Atrisinājums:
1. Visu iznākumu skaits. Bumbiņu kopā: $5 + 5 + 4 = 14$.

2. Labvēlīgie iznākumi. Zilas bumbiņas ir $5$.

3. Varbūtība. $P = \dfrac{5}{14} = \dfrac{5}{14}$.

4. Biežākā kļūda. Saucējā likt tikai PĀRĒJO bumbiņu skaitu. Saucējā vienmēr ir VISI iespējamie iznākumi, arī labvēlīgie.

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē katrs apzīmējums.
$A \cup B$ (apvienojums) — visi elementi, kas ir VISMAZ VIENĀ kopā.
$A \cap B$ (šķēlums) — tikai tie, kas ir ABĀS kopās.

2. Šim uzdevumam. Abās kopās vienlaikus ir $2$ elementi: $\{4; 10\}$.
Šķēlumā ir tikai kopīgie elementi, tātad $2$.

3. Biežākā kļūda. Apvienojumā saskaitīt $6 + 5 = 11$, aizmirstot, ka kopīgie elementi tiktu ieskaitīti divreiz.

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē katrs apzīmējums.
$A \cup B$ (apvienojums) — visi elementi, kas ir VISMAZ VIENĀ kopā.
$A \cap B$ (šķēlums) — tikai tie, kas ir ABĀS kopās.

2. Šim uzdevumam. Abās kopās vienlaikus ir $2$ elementi: $\{4; 7\}$.
Šķēlumā ir tikai kopīgie elementi, tātad $2$.

3. Biežākā kļūda. Apvienojumā saskaitīt $5 + 6 = 11$, aizmirstot, ka kopīgie elementi tiktu ieskaitīti divreiz.

Atrisinājums:
1. Varbūtības formula. $P = \dfrac{\text{labvēlīgo iznākumu skaits}}{\text{visu iznākumu skaits}}$.

2. Visi iznākumi. Kauliņam ir $6$ skaidriņas, tātad saucējā ir $6$.

3. Labvēlīgie iznākumi. Ar $3$ dalās $3$ un $6$ — kopā $2$.

4. Atbilde. $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

5. Biežākā kļūda. Sajaukt vietām skaitītāju un saucēju. Varbūtība nekad nav lielāka par $1$ — ja iznāk vairāk, kaut kas ir apgriezts otrādi.

Atrisinājums:
1. Pilna pārlase. Skaitlim ir divas pozīcijas — desmiti un vieni.

2. Cik izvēļu katrā pozīcijā.
Desmitu vietā: $4$ izvēles.
Vienu vietā: $3$, jo pirmais cipars vairs nav pieejams.

3. Reizinām. $4 \cdot 3 = 12$.

4. Biežākā kļūda. Izvēles SASKAITĪT, nevis sareizināt. Ja katrai pirmās pozīcijas izvēlei ir vairākas otrās, tad reizina.