Procenti — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Procentu definīcija. "$50\%$" nozīmē "$50$ no katriem 100" jeb daļu $\dfrac{50}{100}$.

2. Procentus pārveido daļā. $50\% = \dfrac{50}{100} = 0{,}5$.

3. Reizini ar veselo skaitli.
$50\% \text{ no } 60 = \dfrac{50}{100} \cdot 60 = \dfrac{50 \cdot 60}{100} = \dfrac{3000}{100} = 30$.

4. Padoms — aprēķini galvā.
• 10% no skaitļa = pārvieto komatu pa kreisi par 1 vietu (vai dali ar 10).
• 50% = puse.
• 25% = ceturtdaļa.
• 1% = dali ar 100.
Šeit: 50% no 60 = puse = 30.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $110$ — skolēns saskaitījis procentu un kopējo skaitli, sajaucot operācijas.
• $10$ — skolēns atņēmis procentu kā skaitli, ne kā daļu.
• $3000$ — skolēns reizinājis bez dalīšanas ar 100. Procenti vienmēr nozīmē "no 100", tāpēc jādali.

6. Pārbaude. Vai $30$ ir saprātīgs? Tas ir $tieši puse par pusi no $60$ — der ✓

Atrisinājums:
1. Divu soļu pieeja.
Palielināt par $50\%$ nozīmē:
1) Atrast, cik ir $50\%$ no sākuma vērtības.
2) Pievienot to no sākuma vērtības.

2. Aprēķini izmaiņu.
$50\% \text{ no } 120 = \dfrac{50}{100} \cdot 120 = 60$ €.

3. Pievieno.
$120 + 60 = 180$ €.

4. Viena soļa pieeja (ātrāk). Palielināt par $50\%$ = reizināt ar $\dfrac{100 + 50}{100} = 1{,}5$.
$120 \cdot 1{,}5 = 180$ €.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $170$ — skolēns PIEVIENOJIS procentu kā skaitli (€), nevis aprēķinājis $p\%$ no sākuma. Procentu izmaiņa ir relatīva, ne absolūta.
• $70$ — līdzīga kļūda otrā virzienā: atņemts procentu skaitlis, ne aprēķinātā vērtība.
• $50$ — skolēns ievadījis tikai procentu skaitli, neaprēķinot pārmaiņu un neapvienot ar sākuma cenu.

6. Bieža kļūda — atlaides "atgrieziens". Ja cena $120$ tiek samazināta par $50\%$ un pēc tam palielināta par $50\%$, mēs NEATGRIEŽAMIES pie $120$. Iemesls: pirmais procents ir no $120$, otrais — jau no jaunās (mazākās) cenas.

Atrisinājums:
1. Procentu definīcija. "$30\%$" nozīmē "$30$ no katriem 100" jeb daļu $\dfrac{30}{100}$.

2. Procentus pārveido daļā. $30\% = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$.

3. Reizini ar veselo skaitli.
$30\% \text{ no } 20 = \dfrac{30}{100} \cdot 20 = \dfrac{30 \cdot 20}{100} = \dfrac{600}{100} = 6$.

4. Padoms — aprēķini galvā.
• 10% no skaitļa = pārvieto komatu pa kreisi par 1 vietu (vai dali ar 10).
• 50% = puse.
• 25% = ceturtdaļa.
• 1% = dali ar 100.


5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $50$ — skolēns saskaitījis procentu un kopējo skaitli, sajaucot operācijas.
• $-10$ — skolēns atņēmis procentu kā skaitli, ne kā daļu.
• $600$ — skolēns reizinājis bez dalīšanas ar 100. Procenti vienmēr nozīmē "no 100", tāpēc jādali.

6. Pārbaude. Vai $6$ ir saprātīgs? Tas ir $mazāk par pusi no $20$ — der ✓

Atrisinājums:
1. Divu soļu pieeja.
Palielināt par $15\%$ nozīmē:
1) Atrast, cik ir $15\%$ no sākuma vērtības.
2) Pievienot to no sākuma vērtības.

2. Aprēķini izmaiņu.
$15\% \text{ no } 500 = \dfrac{15}{100} \cdot 500 = 75$ €.

3. Pievieno.
$500 + 75 = 575$ €.

4. Viena soļa pieeja (ātrāk). Palielināt par $15\%$ = reizināt ar $\dfrac{100 + 15}{100} = 1{,}15$.
$500 \cdot 1{,}15 = 575$ €.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $515$ — skolēns PIEVIENOJIS procentu kā skaitli (€), nevis aprēķinājis $p\%$ no sākuma. Procentu izmaiņa ir relatīva, ne absolūta.
• $485$ — līdzīga kļūda otrā virzienā: atņemts procentu skaitlis, ne aprēķinātā vērtība.
• $15$ — skolēns ievadījis tikai procentu skaitli, neaprēķinot pārmaiņu un neapvienot ar sākuma cenu.

6. Bieža kļūda — atlaides "atgrieziens". Ja cena $500$ tiek samazināta par $15\%$ un pēc tam palielināta par $15\%$, mēs NEATGRIEŽAMIES pie $500$. Iemesls: pirmais procents ir no $500$, otrais — jau no jaunās (mazākās) cenas.

Atrisinājums:
1. Procentu definīcija. "$25\%$" nozīmē "$25$ no katriem 100" jeb daļu $\dfrac{25}{100}$.

2. Procentus pārveido daļā. $25\% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25$.

3. Reizini ar veselo skaitli.
$25\% \text{ no } 200 = \dfrac{25}{100} \cdot 200 = \dfrac{25 \cdot 200}{100} = \dfrac{5000}{100} = 50$.

4. Padoms — aprēķini galvā.
• 10% no skaitļa = pārvieto komatu pa kreisi par 1 vietu (vai dali ar 10).
• 50% = puse.
• 25% = ceturtdaļa.
• 1% = dali ar 100.
Šeit: 25% no 200 = ceturtdaļa = 200/4 = 50.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $225$ — skolēns saskaitījis procentu un kopējo skaitli, sajaucot operācijas.
• $175$ — skolēns atņēmis procentu kā skaitli, ne kā daļu.
• $5000$ — skolēns reizinājis bez dalīšanas ar 100. Procenti vienmēr nozīmē "no 100", tāpēc jādali.

6. Pārbaude. Vai $50$ ir saprātīgs? Tas ir $mazāk par pusi no $200$ — der ✓

Atrisinājums:
1. Divu soļu pieeja.
Samazināt par $10\%$ nozīmē:
1) Atrast, cik ir $10\%$ no sākuma vērtības.
2) Atņemt to no sākuma vērtības.

2. Aprēķini izmaiņu.
$10\% \text{ no } 80 = \dfrac{10}{100} \cdot 80 = 8$ €.

3. Atvelc.
$80 − 8 = 72$ €.

4. Viena soļa pieeja (ātrāk). Samazināt par $10\%$ = reizināt ar $\dfrac{100 - 10}{100} = 0{,}9$.
$80 \cdot 0{,}9 = 72$ €.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $90$ — skolēns PIEVIENOJIS procentu kā skaitli (€), nevis aprēķinājis $p\%$ no sākuma. Procentu izmaiņa ir relatīva, ne absolūta.
• $70$ — līdzīga kļūda otrā virzienā: atņemts procentu skaitlis, ne aprēķinātā vērtība.
• $10$ — skolēns ievadījis tikai procentu skaitli, neaprēķinot pārmaiņu un neapvienot ar sākuma cenu.

6. Bieža kļūda — atlaides "atgrieziens". Ja cena $80$ tiek samazināta par $10\%$ un pēc tam palielināta par $10\%$, mēs NEATGRIEŽAMIES pie $80$. Iemesls: pirmais procents ir no $80$, otrais — jau no jaunās (mazākās) cenas.

Atrisinājums:
1. Procentu definīcija. "$75\%$" nozīmē "$75$ no katriem 100" jeb daļu $\dfrac{75}{100}$.

2. Procentus pārveido daļā. $75\% = \dfrac{75}{100} = 0{,}75$.

3. Reizini ar veselo skaitli.
$75\% \text{ no } 20 = \dfrac{75}{100} \cdot 20 = \dfrac{75 \cdot 20}{100} = \dfrac{1500}{100} = 15$.

4. Padoms — aprēķini galvā.
• 10% no skaitļa = pārvieto komatu pa kreisi par 1 vietu (vai dali ar 10).
• 50% = puse.
• 25% = ceturtdaļa.
• 1% = dali ar 100.


5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $95$ — skolēns saskaitījis procentu un kopējo skaitli, sajaucot operācijas.
• $-55$ — skolēns atņēmis procentu kā skaitli, ne kā daļu.
• $1500$ — skolēns reizinājis bez dalīšanas ar 100. Procenti vienmēr nozīmē "no 100", tāpēc jādali.

6. Pārbaude. Vai $15$ ir saprātīgs? Tas ir $vairāk par pusi no $20$ — der ✓

Atrisinājums:
1. Divu soļu pieeja.
Palielināt par $15\%$ nozīmē:
1) Atrast, cik ir $15\%$ no sākuma vērtības.
2) Pievienot to no sākuma vērtības.

2. Aprēķini izmaiņu.
$15\% \text{ no } 50 = \dfrac{15}{100} \cdot 50 = 7{,}5$ €.

3. Pievieno.
$50 + 7{,}5 = 57{,}5$ €.

4. Viena soļa pieeja (ātrāk). Palielināt par $15\%$ = reizināt ar $\dfrac{100 + 15}{100} = 1{,}15$.
$50 \cdot 1{,}15 = 57{,}5$ €.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $65$ — skolēns PIEVIENOJIS procentu kā skaitli (€), nevis aprēķinājis $p\%$ no sākuma. Procentu izmaiņa ir relatīva, ne absolūta.
• $35$ — līdzīga kļūda otrā virzienā: atņemts procentu skaitlis, ne aprēķinātā vērtība.
• $15$ — skolēns ievadījis tikai procentu skaitli, neaprēķinot pārmaiņu un neapvienot ar sākuma cenu.

6. Bieža kļūda — atlaides "atgrieziens". Ja cena $50$ tiek samazināta par $15\%$ un pēc tam palielināta par $15\%$, mēs NEATGRIEŽAMIES pie $50$. Iemesls: pirmais procents ir no $50$, otrais — jau no jaunās (mazākās) cenas.

Atrisinājums:
1. Procentu definīcija. "$75\%$" nozīmē "$75$ no katriem 100" jeb daļu $\dfrac{75}{100}$.

2. Procentus pārveido daļā. $75\% = \dfrac{75}{100} = 0{,}75$.

3. Reizini ar veselo skaitli.
$75\% \text{ no } 80 = \dfrac{75}{100} \cdot 80 = \dfrac{75 \cdot 80}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60$.

4. Padoms — aprēķini galvā.
• 10% no skaitļa = pārvieto komatu pa kreisi par 1 vietu (vai dali ar 10).
• 50% = puse.
• 25% = ceturtdaļa.
• 1% = dali ar 100.


5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $155$ — skolēns saskaitījis procentu un kopējo skaitli, sajaucot operācijas.
• $5$ — skolēns atņēmis procentu kā skaitli, ne kā daļu.
• $6000$ — skolēns reizinājis bez dalīšanas ar 100. Procenti vienmēr nozīmē "no 100", tāpēc jādali.

6. Pārbaude. Vai $60$ ir saprātīgs? Tas ir $vairāk par pusi no $80$ — der ✓

Atrisinājums:
1. Divu soļu pieeja.
Samazināt par $20\%$ nozīmē:
1) Atrast, cik ir $20\%$ no sākuma vērtības.
2) Atņemt to no sākuma vērtības.

2. Aprēķini izmaiņu.
$20\% \text{ no } 50 = \dfrac{20}{100} \cdot 50 = 10$ €.

3. Atvelc.
$50 − 10 = 40$ €.

4. Viena soļa pieeja (ātrāk). Samazināt par $20\%$ = reizināt ar $\dfrac{100 - 20}{100} = 0{,}8$.
$50 \cdot 0{,}8 = 40$ €.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $70$ — skolēns PIEVIENOJIS procentu kā skaitli (€), nevis aprēķinājis $p\%$ no sākuma. Procentu izmaiņa ir relatīva, ne absolūta.
• $30$ — līdzīga kļūda otrā virzienā: atņemts procentu skaitlis, ne aprēķinātā vērtība.
• $20$ — skolēns ievadījis tikai procentu skaitli, neaprēķinot pārmaiņu un neapvienot ar sākuma cenu.

6. Bieža kļūda — atlaides "atgrieziens". Ja cena $50$ tiek samazināta par $20\%$ un pēc tam palielināta par $20\%$, mēs NEATGRIEŽAMIES pie $50$. Iemesls: pirmais procents ir no $50$, otrais — jau no jaunās (mazākās) cenas.