Vienādojumi — pirmie soļi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē atrisināt. Jāatrod skaitlis, ar kuru vienādība kļūst patiesa. Vienādojums ir kā svari līdzsvarā — ko dari ar vienu pusi, tas jādara arī ar otru.

2. Atbrīvojam $x$. $x$ ir dalīts ar 5, tāpēc reizinām abas puses ar 5:
$\dfrac{x}{5} \cdot 5 = 8 \cdot 5$
$x = 40$

3. Pārbaude. Ievietojam atrasto vērtību sākotnējā vienādojumā: $\dfrac{40}{5} = 8$ ✓
Pārbaude aizņem 15 sekundes un pasargā no kļūdas — dari to vienmēr.

4. Bieža kļūda — dalīt ($8 : 5$). Ja $x$ jau ir dalīts, atbrīvojamies reizinot.

Atrisinājums:
1. Kārtība. Vispirms atbrīvojam locekli ar $x$ no skaitļa, un tikai pēc tam dalām ar koeficientu. Dalīšana vienmēr ir pēdējā.

2. Pārnesam skaitli. $4x + 9 = 37$ — atņemam 9 abām pusēm:
$4x = 37 - 9 = 28$

3. Dalām ar koeficientu. $x = \dfrac{28}{4} = 7$

4. Pārbaude. $4 \cdot 7 + 9 = 28 + 9 = 37$ ✓

5. Biežākās kļūdas.
• 9{,}25 — dalīts uzreiz ar 4, neatbrīvojot no skaitļa 9. Vispirms pārnes, tad dali.
• Iegūst $4x = 46$ — pārnesot aizmirsts mainīt zīmi. Pareizi ir $4x = 28$.

Atrisinājums:
1. Mērķis. Savākt visus $x$ vienā pusē, bet skaitļus — otrā.

2. Pārnesam $4x$ pa kreisi un $(-2)$ pa labi. Pārnesot zīme mainās:
$7x - 4x = 13 + 2$

3. Savelkam. $3x = 15$

4. Dalām ar koeficientu. $x = \dfrac{15}{3} = 5$

5. Pārbaude — abas puses atsevišķi.
Kreisā: $7 \cdot 5 - 2 = 33$
Labā: $4 \cdot 5 + 13 = 33$ ✓

6. Bieža kļūda. Pārnesot $4x$, aizmirst mainīt zīmi un savelk $7x + 4x = 11x$. Pārnesot uz otru pusi, zīme vienmēr mainās.

Atrisinājums:
1. Divi ceļi — abi der. Vienādojumu ar iekavām var risināt divējādi: atvērt iekavas vai uzreiz dalīt ar reizinātāju. Parādīsim abus.

2. Ceļš A — atveram iekavas. Reizinām $3$ ar KATRU locekli iekavās:
$3(x + 7) = 3x + 21$
Tātad $3x + 21 = 36$.
Pārnesam skaitli: $3x = 36 - 21 = 15$
Dalām: $x = \dfrac{15}{3} = 5$

3. Ceļš B — vispirms dalām ar 3. Ja labā puse dalās bez atlikuma, tas ir ātrāk:
$x + 7 = \dfrac{36}{3} = 12$
$x = 12 - 7 = 5$

4. Pārbaude. $3(5 + 7) = 3 \cdot 12 = 36$ ✓

5. Biežākā kļūda. Reizināt tikai ar pirmo locekli: $3(x + 7) = 3x + 7$ — nepareizi. Reizinātājs attiecas uz visu, kas ir iekavās, tāpēc arī uz $7$.

Atrisinājums:
1. Atbrīvojies no saucējiem. Reizini ABAS puses ar abiem saucējiem — vai, īsāk, reizini krustiski:
$3(5x + 7) = 4(2x + 14)$.

2. Atver iekavas.
$15x + 21 = 8x + 56$.

3. Nezināmos uz vienu pusi, skaitļus uz otru.
$7x = 35$.

4. Dali ar nezināmā koeficientu. $x = \dfrac{35}{7} = 5$.

5. Pārbaude. Ievieto $x = 5$ sākotnējā vienādojumā — abās pusēs sanāk $\dfrac{32}{4} = \dfrac{24}{3}$, un abas daļas ir vienādas ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x = 2$ — saucēji vispār ignorēti — vienādojums risināts tā, it kā tie nebūtu
• $x = 6$ — kļūda pēdējā solī, dalot ar nezināmā koeficientu
• $x = 10$ — abas puses reizinātas tikai ar vienu saucēju, ne ar abiem

7. Biežākā kļūda. Reizināt ar saucēju tikai TO locekli, kas zem tā stāv. Reizināt jābūt VISAI pusei.

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē atrisināt. Jāatrod skaitlis, ar kuru vienādība kļūst patiesa. Vienādojums ir kā svari līdzsvarā — ko dari ar vienu pusi, tas jādara arī ar otru.

2. Atbrīvojam $x$. Lai $x$ paliktu viens, pieskaitām 8 abām pusēm:
$x - 8 + 8 = 6 + 8$
$x = 14$

3. Pārbaude. Ievietojam atrasto vērtību sākotnējā vienādojumā: $14 - 8 = 6$ ✓
Pārbaude aizņem 15 sekundes un pasargā no kļūdas — dari to vienmēr.

4. Bieža kļūda — atņemt ($6 - 8 = -2$). Bija $-8$, tāpēc pārnesot kļūst $+8$.

Atrisinājums:
1. Kārtība. Vispirms atbrīvojam locekli ar $x$ no skaitļa, un tikai pēc tam dalām ar koeficientu. Dalīšana vienmēr ir pēdējā.

2. Pārnesam skaitli. $6x + 6 = 24$ — atņemam 6 abām pusēm:
$6x = 24 - 6 = 18$

3. Dalām ar koeficientu. $x = \dfrac{18}{6} = 3$

4. Pārbaude. $6 \cdot 3 + 6 = 18 + 6 = 24$ ✓

5. Biežākās kļūdas.
• 4 — dalīts uzreiz ar 6, neatbrīvojot no skaitļa 6. Vispirms pārnes, tad dali.
• Iegūst $6x = 30$ — pārnesot aizmirsts mainīt zīmi. Pareizi ir $6x = 18$.

Atrisinājums:
1. Mērķis. Savākt visus $x$ vienā pusē, bet skaitļus — otrā.

2. Pārnesam $2x$ pa kreisi un $(-12)$ pa labi. Pārnesot zīme mainās:
$5x - 2x = 15 + 12$

3. Savelkam. $3x = 27$

4. Dalām ar koeficientu. $x = \dfrac{27}{3} = 9$

5. Pārbaude — abas puses atsevišķi.
Kreisā: $5 \cdot 9 - 12 = 33$
Labā: $2 \cdot 9 + 15 = 33$ ✓

6. Bieža kļūda. Pārnesot $2x$, aizmirst mainīt zīmi un savelk $5x + 2x = 7x$. Pārnesot uz otru pusi, zīme vienmēr mainās.

Atrisinājums:
1. Divi ceļi — abi der. Vienādojumu ar iekavām var risināt divējādi: atvērt iekavas vai uzreiz dalīt ar reizinātāju. Parādīsim abus.

2. Ceļš A — atveram iekavas. Reizinām $2$ ar KATRU locekli iekavās:
$2(x - 2) = 2x - 4$
Tātad $2x - 4 = 12$.
Pārnesam skaitli: $2x = 12 + 4 = 16$
Dalām: $x = \dfrac{16}{2} = 8$

3. Ceļš B — vispirms dalām ar 2. Ja labā puse dalās bez atlikuma, tas ir ātrāk:
$x - 2 = \dfrac{12}{2} = 6$
$x = 6 + 2 = 8$

4. Pārbaude. $2(8 - 2) = 2 \cdot 6 = 12$ ✓

5. Biežākā kļūda. Reizināt tikai ar pirmo locekli: $2(x - 2) = 2x - 2$ — nepareizi. Reizinātājs attiecas uz visu, kas ir iekavās, tāpēc arī uz $(-2)$.

Atrisinājums:
1. Atbrīvojies no saucējiem. Reizini ABAS puses ar abiem saucējiem — vai, īsāk, reizini krustiski:
$4(2x + 3) = 2(3x + 15)$.

2. Atver iekavas.
$8x + 12 = 6x + 30$.

3. Nezināmos uz vienu pusi, skaitļus uz otru.
$2x = 18$.

4. Dali ar nezināmā koeficientu. $x = \dfrac{18}{2} = 9$.

5. Pārbaude. Ievieto $x = 9$ sākotnējā vienādojumā — abās pusēs sanāk $\dfrac{21}{2} = \dfrac{42}{4}$, un abas daļas ir vienādas ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x = 8$ — zīmju kļūda, pārnesot locekli uz otru pusi
• $x = 10$ — kļūda pēdējā solī, dalot ar nezināmā koeficientu
• $x = 12$ — saucēji vispār ignorēti — vienādojums risināts tā, it kā tie nebūtu

7. Biežākā kļūda. Reizināt ar saucēju tikai TO locekli, kas zem tā stāv. Reizināt jābūt VISAI pusei.