Monomi un polinomi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Monomu reizināšanas likums. Koeficientus reizina, bet vienādu bāzu kāpinātājus saskaita: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Koeficienti. $4 \cdot 2 = 8$.

3. Kāpinātāji. $x^{4} \cdot x^{5} = x^{4+5} = x^{9}$.
Kāpēc saskaita: $x^{4}$ nozīmē $x$ 4 reizes, $x^{5}$ — vēl 5 reizes; kopā $x$ parādās 9 reizes.

4. Atbilde. $8x^{9}$.

5. Biežākās kļūdas.
• $8x^{20}$ — kāpinātāji sareizināti. Reizināšana ar kāpinātājiem notiek tikai pakāpes kāpināšanā: $(x^{4})^{5} = x^{20}$.
• $6x^{9}$ — koeficienti saskaitīti. Koeficientus reizina, tikai kāpinātājus saskaita.
• $8x^{1}$ — kāpinātāji atņemti. Tas ir dalīšanas likums, ne reizināšanas.

Atrisinājums:
1. Atņemot polinomus. Mīnuss pirms iekavas maina katra atņemamā locekļa zīmi — ne tikai pirmā.

2. Atveram iekavas. $(3x + 5) - (9x + 6) = 3x + 5 - 9x - 6$

3. Savelkam līdzīgos. $x$ locekļi kopā, brīvie locekļi kopā: $-6x - 1$.

4. Biežākās kļūdas.
• $-6x + 11$ — mainīta tikai pirmā locekļa zīme, brīvajam loceklim zīme palikusi veca.
• $12x - 1$ — sajaukta pati darbība ($x$ koeficienti saskaitīti, nevis atņemti).
• $-7x$ — savilkti nelīdzīgi locekļi: $x$ un brīvais loceklis nav savelkami.

Atrisinājums:
1. Sadalīšanas likums. Reizinātājs pirms iekavas attiecas uz katru locekli iekavā: $c(u + v) = cu + cv$.

2. Pirmais loceklis. $3x^{3} \cdot 4x = 3 \cdot 4 \cdot x^{3} \cdot x = 12x^{4}$ — koeficientus reizinām, kāpinātājus saskaitām.

3. Otrais loceklis. $3x^{3} \cdot (7) = 21x^{3}$ — skaitlis reizinās ar koeficientu, bet $x^{3}$ paliek.

4. Atbilde. $12x^{4} + 21x^{3}$.

5. Biežākās kļūdas.
• $12x^{4} + 7$ — reizināts tikai pirmais loceklis, otrais pārrakstīts nemainīts.
• $12x^{4} + 21$ — otrajā loceklī pazudis $x$. Reizinot ar $3x^{3}$, arī brīvais loceklis iegūst $x^{3}$.
• $7x^{4} + 21x^{3}$ — koeficienti saskaitīti, nevis reizināti.

Atrisinājums:
1. Katru ar katru. Reizinot divus binomus, sanāk četri reizinājumi.

2. Četri reizinājumi.
$x \cdot x = x^2$
$x \cdot (2) = 2x$
$(-8) \cdot x = -8x$
$(-8) \cdot (2) = -16$

3. Savelkam vidējos. $2x - 8x = -6x$

4. Atbilde. $x^2 - 6x - 16$

5. Pārbaude ar skaitli. Pie $x = 2$: sākotnējā $(2 - 8)(2 + 2) = -6 \cdot 4 = -24$; rezultāts $4 - 6 \cdot 2 - 16 = -24$ ✓

6. Biežākās kļūdas.
• $x^2 - 16$ — izlaisti abi vidējie locekļi (sareizināti tikai "pirmais ar pirmo" un "pēdējais ar pēdējo").
• $x^2 - 16x - 6$ — samainīti vietām: pie $x$ jābūt summai $-6$, brīvajā loceklī — reizinājumam $-16$.
• $x^2 - 6x + 16$ — kļūdaina zīme reizinājumā $(-8) \cdot (2)$.

Atrisinājums:
1. Monomu reizināšanas likums. Koeficientus reizina, bet vienādu bāzu kāpinātājus saskaita: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Koeficienti. $9 \cdot 5 = 45$.

3. Kāpinātāji. $x^{5} \cdot x^{4} = x^{5+4} = x^{9}$.
Kāpēc saskaita: $x^{5}$ nozīmē $x$ 5 reizes, $x^{4}$ — vēl 4 reizes; kopā $x$ parādās 9 reizes.

4. Atbilde. $45x^{9}$.

5. Biežākās kļūdas.
• $45x^{20}$ — kāpinātāji sareizināti. Reizināšana ar kāpinātājiem notiek tikai pakāpes kāpināšanā: $(x^{5})^{4} = x^{20}$.
• $14x^{9}$ — koeficienti saskaitīti. Koeficientus reizina, tikai kāpinātājus saskaita.
• $45x^{1}$ — kāpinātāji atņemti. Tas ir dalīšanas likums, ne reizināšanas.

Atrisinājums:
1. Atņemot polinomus. Mīnuss pirms iekavas maina katra atņemamā locekļa zīmi — ne tikai pirmā.

2. Atveram iekavas. $(7x + 6) - (4x + 7) = 7x + 6 - 4x - 7$

3. Savelkam līdzīgos. $x$ locekļi kopā, brīvie locekļi kopā: $3x - 1$.

4. Biežākās kļūdas.
• $3x + 13$ — mainīta tikai pirmā locekļa zīme, brīvajam loceklim zīme palikusi veca.
• $11x - 1$ — sajaukta pati darbība ($x$ koeficienti saskaitīti, nevis atņemti).
• $2x$ — savilkti nelīdzīgi locekļi: $x$ un brīvais loceklis nav savelkami.

Atrisinājums:
1. Sadalīšanas likums. Reizinātājs pirms iekavas attiecas uz katru locekli iekavā: $c(u + v) = cu + cv$.

2. Pirmais loceklis. $2x \cdot 4x = 2 \cdot 4 \cdot x^{1} \cdot x = 8x^{2}$ — koeficientus reizinām, kāpinātājus saskaitām.

3. Otrais loceklis. $2x \cdot (-6) = -12x^{1}$ — skaitlis reizinās ar koeficientu, bet $x^{1}$ paliek.

4. Atbilde. $8x^{2} - 12x$.

5. Biežākās kļūdas.
• $8x^{2} - 6$ — reizināts tikai pirmais loceklis, otrais pārrakstīts nemainīts.
• $8x^{2} - 12$ — otrajā loceklī pazudis $x$. Reizinot ar $2x$, arī brīvais loceklis iegūst $x^{1}$.
• $6x^{2} - 12x$ — koeficienti saskaitīti, nevis reizināti.

Atrisinājums:
1. Katru ar katru. Reizinot divus binomus, sanāk četri reizinājumi.

2. Četri reizinājumi.
$x \cdot x = x^2$
$x \cdot (-8) = -8x$
$(9) \cdot x = 9x$
$(9) \cdot (-8) = -72$

3. Savelkam vidējos. $-8x + 9x = x$

4. Atbilde. $x^2 + x - 72$

5. Pārbaude ar skaitli. Pie $x = 2$: sākotnējā $(2 + 9)(2 - 8) = 11 \cdot -6 = -66$; rezultāts $4 + 1 \cdot 2 - 72 = -66$ ✓

6. Biežākās kļūdas.
• $x^2 - 72$ — izlaisti abi vidējie locekļi (sareizināti tikai "pirmais ar pirmo" un "pēdējais ar pēdējo").
• $x^2 - 72x + 1$ — samainīti vietām: pie $x$ jābūt summai $1$, brīvajā loceklī — reizinājumam $-72$.
• $x^2 + x + 72$ — kļūdaina zīme reizinājumā $(9) \cdot (-8)$.

Atrisinājums:
1. Monomu reizināšanas likums. Koeficientus reizina, bet vienādu bāzu kāpinātājus saskaita: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Koeficienti. $5 \cdot 2 = 10$.

3. Kāpinātāji. $x^{5} \cdot x^{4} = x^{5+4} = x^{9}$.
Kāpēc saskaita: $x^{5}$ nozīmē $x$ 5 reizes, $x^{4}$ — vēl 4 reizes; kopā $x$ parādās 9 reizes.

4. Atbilde. $10x^{9}$.

5. Biežākās kļūdas.
• $10x^{20}$ — kāpinātāji sareizināti. Reizināšana ar kāpinātājiem notiek tikai pakāpes kāpināšanā: $(x^{5})^{4} = x^{20}$.
• $7x^{9}$ — koeficienti saskaitīti. Koeficientus reizina, tikai kāpinātājus saskaita.
• $10x^{1}$ — kāpinātāji atņemti. Tas ir dalīšanas likums, ne reizināšanas.

Atrisinājums:
1. Saskaitot polinomus. Pluss pirms iekavas zīmes nemaina — iekavas var vienkārši noņemt.

2. Atveram iekavas. $(6x - 4) + (4x + 6) = 6x - 4 + 4x + 6$

3. Savelkam līdzīgos. $x$ locekļi kopā, brīvie locekļi kopā: $10x + 2$.

4. Biežākās kļūdas.
• $10x - 10$ — zīme kļūdaini mainīta, lai gan pirms iekavas ir pluss.
• $2x + 2$ — sajaukta pati darbība ($x$ koeficienti atņemti, nevis saskaitīti).
• $12x$ — savilkti nelīdzīgi locekļi: $x$ un brīvais loceklis nav savelkami.