Atrisinājums: 1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.
2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.
3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $\frac{1}{2}$?
4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 60° = \frac{1}{2}$. Tāpēc $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3}$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.
7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.
2. Šim uzdevumam. Kārdinājums ir atbildēt $\dfrac{2\pi}{3}$, bet tas ir NEPAREIZI: $\arcsin$ vērtību apgabals ir $\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{\pi}{2}\right]$, un $\dfrac{2\pi}{3}$ tajā neietilpst.
Tāpēc meklējam leņķi vērtību apgabalā ar to pašu sinusu: $\sin\left(\pi - x\right) = \sin x$ dod $\dfrac{\pi}{3}$.
3. Biežākā kļūda. Aizmirst, ka apgrieztā funkcija atgriež TIKAI vienu leņķi noteiktā intervālā, un nosaukt jebkuru leņķi ar pareizo sinusu vai kosinusu.
3. uzdevums
Aprēķini: $\arcsin\left(1\right)$
A) $\frac{\pi}{2}$
B) $\frac{\pi}{6}$
C) $\frac{\pi}{3}$
D) $\frac{\pi}{4}$
Pareizā atbilde: A) $\frac{\pi}{2}$
Atrisinājums: 1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.
2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.
3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(1\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $1$?
4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 90° = 1$. Tāpēc $\arcsin\left(1\right) = 90° = \frac{\pi}{2}$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(1\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{3} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.
7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.
2. Šim uzdevumam. Kārdinājums ir atbildēt $\dfrac{5\pi}{6}$, bet tas ir NEPAREIZI: $\arcsin$ vērtību apgabals ir $\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{\pi}{2}\right]$, un $\dfrac{5\pi}{6}$ tajā neietilpst.
Tāpēc meklējam leņķi vērtību apgabalā ar to pašu sinusu: $\sin\left(\pi - x\right) = \sin x$ dod $\dfrac{\pi}{6}$.
3. Biežākā kļūda. Aizmirst, ka apgrieztā funkcija atgriež TIKAI vienu leņķi noteiktā intervālā, un nosaukt jebkuru leņķi ar pareizo sinusu vai kosinusu.
2. Šim uzdevumam. $\arccos$ vērtību apgabals ir $\left[0;\, \pi\right]$. Meklējam TIEŠI šajā intervālā leņķi, kura kosinuss ir $0$: tas ir $\dfrac{\pi}{2}$.
3. Biežākā kļūda. Aizmirst, ka apgrieztā funkcija atgriež TIKAI vienu leņķi noteiktā intervālā, un nosaukt jebkuru leņķi ar pareizo sinusu vai kosinusu.
Atrisinājums: 1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.
2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.
3. Mūsu uzdevums. $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa kosinuss ir $\frac{\sqrt{2}}{2}$?
4. No pamatvērtību tabulas. $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tāpēc $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arcsin$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{3} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ vietā $\arccos$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.
7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.
2. Šim uzdevumam. $\arcsin$ vērtību apgabals ir $\left[-\dfrac{\pi}{2};\, \dfrac{\pi}{2}\right]$. Meklējam TIEŠI šajā intervālā leņķi, kura sinuss ir $-\dfrac{1}{2}$: tas ir $-\dfrac{\pi}{6}$.
Ievēro: pie NEGATĪVA argumenta $\arcsin$ dod negatīvu leņķi, bet $\arccos$ — leņķi starp $\dfrac{\pi}{2}$ un $\pi$ (nekad negatīvu).
3. Biežākā kļūda. Aizmirst, ka apgrieztā funkcija atgriež TIKAI vienu leņķi noteiktā intervālā, un nosaukt jebkuru leņķi ar pareizo sinusu vai kosinusu.
Atrisinājums: 1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.
2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.
3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $\frac{\sqrt{2}}{2}$?
4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tāpēc $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45° = \frac{\pi}{4}$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{3} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.
7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.
2. Šim uzdevumam. $\arccos$ vērtību apgabals ir $\left[0;\, \pi\right]$. Meklējam TIEŠI šajā intervālā leņķi, kura kosinuss ir $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$: tas ir $\dfrac{\pi}{6}$.
3. Biežākā kļūda. Aizmirst, ka apgrieztā funkcija atgriež TIKAI vienu leņķi noteiktā intervālā, un nosaukt jebkuru leņķi ar pareizo sinusu vai kosinusu.
Atrisinājums: 1. Apgrieztās trig. funkcijas.
• $\arcsin x$ atgriež leņķi, kura sinuss ir $x$.
• $\arccos x$ atgriež leņķi, kura kosinuss ir $x$.
2. Vērtību apgabali (svarīgi!).
• $\arcsin: [-1; 1] \to [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
• $\arccos: [-1; 1] \to [0; \pi]$
Tāpēc atbilde vienmēr ir VIENĀ noteiktā intervālā, ne neierobežotā skaitā leņķu.
3. Mūsu uzdevums. $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Jautājums: kura leņķa sinuss ir $\frac{\sqrt{3}}{2}$?
4. No pamatvērtību tabulas. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Tāpēc $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3}$.
5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas — visi pārējie izvēles varianti ir $\arccos$ vērtības vai citu pamatleņķu radiānu mēri:
• \frac{\pi}{6} — atbilst CITAM pamatleņķim. Skolēns lasījis tabulu pa nepareizu rindu vai sajaucis $\sin/\cos$ atbilstības.
• \frac{\pi}{4} — vēl viens citu leņķu radiānu mērs. Bieži skolēns aprēķina pretējās funkcijas vērtību: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ vietā $\arcsin$.
• \frac{\pi}{2} — šī ir sajaukšana ar robežvērtībām (0, $\frac{\pi}{2}$). Atceries — tās atbilst tikai vērtībām $0$ un $1$.
7. Bieža kļūda. Jautāt "kāds leņķis?" un atbildēt 30° vai 150° — abus, jo arī $\sin 150° = \frac{1}{2}$. Bet $\arcsin$ pēc DEFINĪCIJAS atgriež tikai $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ intervālā esošo leņķi.
👩🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →