Robežas — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 3}(4x^2 + x + 4)$.

4. Ievieto $x = 3$.
$4 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3 + 4$
$= 36 + 3 + 4$
$= 43$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $86$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $43$.
• $44$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $43$.
• $45$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $43$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.

Atrisinājums:
1. Pirmā pieeja — tieša ievietošana.
$\lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$
Ievietojot $x = 5$: skaitītājs $= 25 - 25 = 0$, saucējs $= 5 - 5 = 0$.
Iznāk nenoteiktība $\dfrac{0}{0}$ — vajag dziļāk strādāt.

2. Faktorēšanas stratēģija. $\dfrac{0}{0}$ nozīmē, ka skaitītājam un saucējam ir kopējs reizinātājs $(x - 5)$. Atrast to un saīsināt!

3. Faktorē skaitītāju. $x^2 - 25$ ir kvadrātu starpības formula:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.

4. Saīsini.
$\dfrac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ (kad $x \ne 5$).

5. Aprēķini robežu. $\lim_{x \to 5}(x + 5) = 5 + 5 = 10$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 5$ pie $x = 5$ dod $10$.
• $5$ — saīsināts kļūdaini, atstājot $x_0$ vietā $2x_0$.
• $4$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 5$ pie $x = 5$ dod $10$.

7. Bieža kļūda. NESAJAUKT robežu ar funkcijas vērtību. Sākotnējā funkcija $\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ punktā $x = 5$ NAV definēta (saucējs = 0). Bet robeža (uzvedība TUVU $x_0$) eksistē un ir $10$.

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 2}(4x^2 + 2x - 2)$.

4. Ievieto $x = 2$.
$4 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 2$
$= 16 + 4 - 2$
$= 18$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $19$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 2$, iznāk $18$.
• $36$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 2$, iznāk $18$.
• $20$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 2$, iznāk $18$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.

Atrisinājums:
1. Pirmā pieeja — tieša ievietošana.
$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$
Ievietojot $x = 2$: skaitītājs $= 4 - 4 = 0$, saucējs $= 2 - 2 = 0$.
Iznāk nenoteiktība $\dfrac{0}{0}$ — vajag dziļāk strādāt.

2. Faktorēšanas stratēģija. $\dfrac{0}{0}$ nozīmē, ka skaitītājam un saucējam ir kopējs reizinātājs $(x - 2)$. Atrast to un saīsināt!

3. Faktorē skaitītāju. $x^2 - 4$ ir kvadrātu starpības formula:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.

4. Saīsini.
$\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ (kad $x \ne 2$).

5. Aprēķini robežu. $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 2$ pie $x = 2$ dod $4$.
• $2$ — saīsināts kļūdaini, atstājot $x_0$ vietā $2x_0$.
• $5$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 2$ pie $x = 2$ dod $4$.

7. Bieža kļūda. NESAJAUKT robežu ar funkcijas vērtību. Sākotnējā funkcija $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ punktā $x = 2$ NAV definēta (saucējs = 0). Bet robeža (uzvedība TUVU $x_0$) eksistē un ir $4$.

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 4}(4x^2 + 4x + 2)$.

4. Ievieto $x = 4$.
$4 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 + 2$
$= 64 + 16 + 2$
$= 82$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $10$ — ievietots $x = 1$, nevis $x = 4$; tā ir koeficientu summa.
• $32$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 4$, iznāk $82$.
• $83$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 4$, iznāk $82$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.

Atrisinājums:
1. Pirmā pieeja — tieša ievietošana.
$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$
Ievietojot $x = 3$: skaitītājs $= 9 - 9 = 0$, saucējs $= 3 - 3 = 0$.
Iznāk nenoteiktība $\dfrac{0}{0}$ — vajag dziļāk strādāt.

2. Faktorēšanas stratēģija. $\dfrac{0}{0}$ nozīmē, ka skaitītājam un saucējam ir kopējs reizinātājs $(x - 3)$. Atrast to un saīsināt!

3. Faktorē skaitītāju. $x^2 - 9$ ir kvadrātu starpības formula:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

4. Saīsini.
$\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ (kad $x \ne 3$).

5. Aprēķini robežu. $\lim_{x \to 3}(x + 3) = 3 + 3 = 6$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3$ — saīsināts kļūdaini, atstājot $x_0$ vietā $2x_0$.
• $9$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 3$ pie $x = 3$ dod $6$.
• $7$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 3$ pie $x = 3$ dod $6$.

7. Bieža kļūda. NESAJAUKT robežu ar funkcijas vērtību. Sākotnējā funkcija $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ punktā $x = 3$ NAV definēta (saucējs = 0). Bet robeža (uzvedība TUVU $x_0$) eksistē un ir $6$.

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 2}(5x^2 + x + 5)$.

4. Ievieto $x = 2$.
$5 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2 + 5$
$= 20 + 2 + 5$
$= 27$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $5$ — paņemts tikai brīvais loceklis, it kā $x$ būtu $0$.
• $26$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 2$, iznāk $27$.
• $28$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 2$, iznāk $27$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.

Atrisinājums:
1. Pirmā pieeja — tieša ievietošana.
$\lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$
Ievietojot $x = 4$: skaitītājs $= 16 - 16 = 0$, saucējs $= 4 - 4 = 0$.
Iznāk nenoteiktība $\dfrac{0}{0}$ — vajag dziļāk strādāt.

2. Faktorēšanas stratēģija. $\dfrac{0}{0}$ nozīmē, ka skaitītājam un saucējam ir kopējs reizinātājs $(x - 4)$. Atrast to un saīsināt!

3. Faktorē skaitītāju. $x^2 - 16$ ir kvadrātu starpības formula:
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.

4. Saīsini.
$\dfrac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ (kad $x \ne 4$).

5. Aprēķini robežu. $\lim_{x \to 4}(x + 4) = 4 + 4 = 8$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4$ — saīsināts kļūdaini, atstājot $x_0$ vietā $2x_0$.
• $10$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 4$ pie $x = 4$ dod $8$.
• $12$ — aprēķina kļūda; pēc saīsināšanas $x + 4$ pie $x = 4$ dod $8$.

7. Bieža kļūda. NESAJAUKT robežu ar funkcijas vērtību. Sākotnējā funkcija $\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ punktā $x = 4$ NAV definēta (saucējs = 0). Bet robeža (uzvedība TUVU $x_0$) eksistē un ir $8$.

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 4}(4x^2 + 3x + 4)$.

4. Ievieto $x = 4$.
$4 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 4$
$= 64 + 12 + 4$
$= 80$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $40$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 4$, iznāk $80$.
• $48$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 4$, iznāk $80$.
• $160$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 4$, iznāk $80$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 3}(2x^2 + 5x + 2)$.

4. Ievieto $x = 3$.
$2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 2$
$= 18 + 15 + 2$
$= 35$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — ievietots $x = 1$, nevis $x = 3$; tā ir koeficientu summa.
• $20$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $35$.
• $18$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $35$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.