Integrāļi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Pakāpes integrācijas formula. $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C$, kad $n \ne -1$.
"Pakāpe par 1 augstāka, dali ar jauno pakāpi."

2. Kāpēc $+C$? Konstantes atvasinājums ir 0. Tāpēc, ja $F(x)$ ir primitīva, tad arī $F(x) + 5$ vai $F(x) - 100$ ir primitīvas. $C$ apzīmē jebkuru konstanti — neaizmirsti to!

3. Pielieto mūsu uzdevumam.
$\int 3x^{2} \, dx = 3 \cdot \dfrac{x^{3}}{3} + C = x^{3} + C$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6x^{1} + C$ — skolēns sajaucis integrāli ar atvasinājumu (samazinājis pakāpi un izvēlējies pakāpi kā reizinātāju). Tas ir tieši pretējais.
• $3x^{2} + C$ — skolēns saglabājis to pašu pakāpi un nav dalījis. Aizmirsts gan palielināt, gan dalīt.
• $\frac{3}{2}x^{2} + C$ — skolēns dalījis ar oriģinālo pakāpi $n$, ne ar JAUNO ($n+1$). Pakāpes integrāla saucējs vienmēr ir JAUNĀ pakāpe.

5. Pārbaude — atvasini atpakaļ.
$\dfrac{d}{dx}\left[x^{3}\right] = \dfrac{3}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} = 3x^{2}$ ✓

6. Atmiņas palīgs. Atvasinājums = "pakāpe pirms, samazini par 1". Integrāls = OPOZĪCIJA: "palielini par 1, dali ar jauno pakāpi". Bet neaizmirsti $+C$!

7. Bieža kļūda. Aizmirst $+C$ — tas ir jāraksta gandrīz vienmēr nenoteiktajiem integrāļiem.

Atrisinājums:
1. Noteiktais integrālis. $\int_a^b f(x) \, dx$ skaitliski ir laukums starp funkcijas grafiku un $x$-asi no $x = a$ līdz $x = b$.

2. Ņūtona-Leibnica formula. $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, kur $F$ ir jebkura $f$ primitīvā funkcija ($F' = f$).

3. Solis 1 — atrod primitīvo.
Pakāpes integrālis: $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Tāpēc $F(x) = \dfrac{x^{3}}{3}$ (konstanti $C$ noteiktajā integrālā NEVAJAG — tā atvelksies).

4. Solis 2 — aprēķini $F$ galos.
$F(2) = \dfrac{2^{3}}{3} = \dfrac{8}{3}$
$F(0) = \dfrac{0^{3}}{3} = 0$

5. Solis 3 — atvelc.
$\int_0^{2} x^{2} \, dx = F(2) - F(0) = \dfrac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

6. Ģeometriskā nozīme. Šī ir laukums zem līknes $y = x^{2}$ no $x = 0$ līdz $x = 2$.

7. Bieža kļūda. Pievienot $+C$ noteiktajā integrālā — nedrīkst! Konstante atvelkas: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.

Atrisinājums:
1. Kāpēc te vajag integrāli? Figūra no augšas ir ierobežota ar līkni, ne ar taisni, tāpēc laukuma formulas no ģeometrijas neder. Noteiktais integrālis tieši to arī nozīmē — laukumu zem līknes.

2. Uzrakstām integrāli. Robežas: no $x = 0$ (kur līkne krusto $Ox$) līdz $x = 3$.
$S = \displaystyle\int_0^{3} x^{2}\,dx$

3. Primitīvā funkcija. $\displaystyle\int x^{2} dx = \dfrac{x^{3}}{3}$ — pakāpi palielina par $1$ un dala ar jauno pakāpi.
Tāpēc $\displaystyle\int x^{2} dx = \dfrac{x^{3}}{3}$

4. Ņūtona–Leibnica formula. $S = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^{3} = \dfrac{1 \cdot 27}{3} - 0 = 9$

5. Vai atbilde ir prātīga? Taisnstūris ar platumu $3$ un augstumu $9$ (līknes vērtība galā) dotu $27$. Līkne zem tā ir izliekta, tāpēc laukumam jābūt mazākam — un $9$ tiešām ir mazāks. Tā ir laba pārbaude, kad nav droši par rēķinu.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $3$ — tad sanāk $27$, kas ir taisnstūra laukums, ne figūras.

Atrisinājums:
1. Pakāpes integrācijas formula. $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C$, kad $n \ne -1$.
"Pakāpe par 1 augstāka, dali ar jauno pakāpi."

2. Kāpēc $+C$? Konstantes atvasinājums ir 0. Tāpēc, ja $F(x)$ ir primitīva, tad arī $F(x) + 5$ vai $F(x) - 100$ ir primitīvas. $C$ apzīmē jebkuru konstanti — neaizmirsti to!

3. Pielieto mūsu uzdevumam.
$\int 3x^{3} \, dx = 3 \cdot \dfrac{x^{4}}{4} + C = \frac{3}{4}x^{4} + C$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9x^{2} + C$ — skolēns sajaucis integrāli ar atvasinājumu (samazinājis pakāpi un izvēlējies pakāpi kā reizinātāju). Tas ir tieši pretējais.
• $3x^{3} + C$ — skolēns saglabājis to pašu pakāpi un nav dalījis. Aizmirsts gan palielināt, gan dalīt.
• $\frac{3}{3}x^{3} + C$ — skolēns dalījis ar oriģinālo pakāpi $n$, ne ar JAUNO ($n+1$). Pakāpes integrāla saucējs vienmēr ir JAUNĀ pakāpe.

5. Pārbaude — atvasini atpakaļ.
$\dfrac{d}{dx}\left[\frac{3}{4}x^{4}\right] = \dfrac{3}{4} \cdot 4 \cdot x^{3} = 3x^{3}$ ✓

6. Atmiņas palīgs. Atvasinājums = "pakāpe pirms, samazini par 1". Integrāls = OPOZĪCIJA: "palielini par 1, dali ar jauno pakāpi". Bet neaizmirsti $+C$!

7. Bieža kļūda. Aizmirst $+C$ — tas ir jāraksta gandrīz vienmēr nenoteiktajiem integrāļiem.

Atrisinājums:
1. Noteiktais integrālis. $\int_a^b f(x) \, dx$ skaitliski ir laukums starp funkcijas grafiku un $x$-asi no $x = a$ līdz $x = b$.

2. Ņūtona-Leibnica formula. $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, kur $F$ ir jebkura $f$ primitīvā funkcija ($F' = f$).

3. Solis 1 — atrod primitīvo.
Pakāpes integrālis: $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Tāpēc $F(x) = \dfrac{x^{4}}{4}$ (konstanti $C$ noteiktajā integrālā NEVAJAG — tā atvelksies).

4. Solis 2 — aprēķini $F$ galos.
$F(2) = \dfrac{2^{4}}{4} = \dfrac{16}{4}$
$F(0) = \dfrac{0^{4}}{4} = 0$

5. Solis 3 — atvelc.
$\int_0^{2} x^{3} \, dx = F(2) - F(0) = \dfrac{16}{4} - 0 = 4$.

6. Ģeometriskā nozīme. Šī ir laukums zem līknes $y = x^{3}$ no $x = 0$ līdz $x = 2$.

7. Bieža kļūda. Pievienot $+C$ noteiktajā integrālā — nedrīkst! Konstante atvelkas: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.

Atrisinājums:
1. Kāpēc te vajag integrāli? Figūra no augšas ir ierobežota ar līkni, ne ar taisni, tāpēc laukuma formulas no ģeometrijas neder. Noteiktais integrālis tieši to arī nozīmē — laukumu zem līknes.

2. Uzrakstām integrāli. Robežas: no $x = 0$ (kur līkne krusto $Ox$) līdz $x = 2$.
$S = \displaystyle\int_0^{2} 5x^{3}\,dx$

3. Primitīvā funkcija. $\displaystyle\int x^{3} dx = \dfrac{x^{4}}{4}$ — pakāpi palielina par $1$ un dala ar jauno pakāpi.
Tāpēc $\displaystyle\int 5x^{3} dx = \dfrac{5x^{4}}{4}$

4. Ņūtona–Leibnica formula. $S = \left[\dfrac{5x^{4}}{4}\right]_0^{2} = \dfrac{5 \cdot 16}{4} - 0 = 20$

5. Vai atbilde ir prātīga? Taisnstūris ar platumu $2$ un augstumu $40$ (līknes vērtība galā) dotu $80$. Līkne zem tā ir izliekta, tāpēc laukumam jābūt mazākam — un $20$ tiešām ir mazāks. Tā ir laba pārbaude, kad nav droši par rēķinu.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $4$ — tad sanāk $80$, kas ir taisnstūra laukums, ne figūras.

Atrisinājums:
1. Pakāpes integrācijas formula. $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C$, kad $n \ne -1$.
"Pakāpe par 1 augstāka, dali ar jauno pakāpi."

2. Kāpēc $+C$? Konstantes atvasinājums ir 0. Tāpēc, ja $F(x)$ ir primitīva, tad arī $F(x) + 5$ vai $F(x) - 100$ ir primitīvas. $C$ apzīmē jebkuru konstanti — neaizmirsti to!

3. Pielieto mūsu uzdevumam.
$\int 2x^{3} \, dx = 2 \cdot \dfrac{x^{4}}{4} + C = \frac{2}{4}x^{4} + C$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6x^{2} + C$ — skolēns sajaucis integrāli ar atvasinājumu (samazinājis pakāpi un izvēlējies pakāpi kā reizinātāju). Tas ir tieši pretējais.
• $2x^{3} + C$ — skolēns saglabājis to pašu pakāpi un nav dalījis. Aizmirsts gan palielināt, gan dalīt.
• $\frac{2}{3}x^{3} + C$ — skolēns dalījis ar oriģinālo pakāpi $n$, ne ar JAUNO ($n+1$). Pakāpes integrāla saucējs vienmēr ir JAUNĀ pakāpe.

5. Pārbaude — atvasini atpakaļ.
$\dfrac{d}{dx}\left[\frac{2}{4}x^{4}\right] = \dfrac{2}{4} \cdot 4 \cdot x^{3} = 2x^{3}$ ✓

6. Atmiņas palīgs. Atvasinājums = "pakāpe pirms, samazini par 1". Integrāls = OPOZĪCIJA: "palielini par 1, dali ar jauno pakāpi". Bet neaizmirsti $+C$!

7. Bieža kļūda. Aizmirst $+C$ — tas ir jāraksta gandrīz vienmēr nenoteiktajiem integrāļiem.

Atrisinājums:
1. Noteiktais integrālis. $\int_a^b f(x) \, dx$ skaitliski ir laukums starp funkcijas grafiku un $x$-asi no $x = a$ līdz $x = b$.

2. Ņūtona-Leibnica formula. $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, kur $F$ ir jebkura $f$ primitīvā funkcija ($F' = f$).

3. Solis 1 — atrod primitīvo.
Pakāpes integrālis: $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Tāpēc $F(x) = \dfrac{x^{3}}{3}$ (konstanti $C$ noteiktajā integrālā NEVAJAG — tā atvelksies).

4. Solis 2 — aprēķini $F$ galos.
$F(3) = \dfrac{3^{3}}{3} = \dfrac{27}{3}$
$F(0) = \dfrac{0^{3}}{3} = 0$

5. Solis 3 — atvelc.
$\int_0^{3} x^{2} \, dx = F(3) - F(0) = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.

6. Ģeometriskā nozīme. Šī ir laukums zem līknes $y = x^{2}$ no $x = 0$ līdz $x = 3$.

7. Bieža kļūda. Pievienot $+C$ noteiktajā integrālā — nedrīkst! Konstante atvelkas: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$.

Atrisinājums:
1. Kāpēc te vajag integrāli? Figūra no augšas ir ierobežota ar līkni, ne ar taisni, tāpēc laukuma formulas no ģeometrijas neder. Noteiktais integrālis tieši to arī nozīmē — laukumu zem līknes.

2. Uzrakstām integrāli. Robežas: no $x = 0$ (kur līkne krusto $Ox$) līdz $x = 2$.
$S = \displaystyle\int_0^{2} x^{3}\,dx$

3. Primitīvā funkcija. $\displaystyle\int x^{3} dx = \dfrac{x^{4}}{4}$ — pakāpi palielina par $1$ un dala ar jauno pakāpi.
Tāpēc $\displaystyle\int x^{3} dx = \dfrac{x^{4}}{4}$

4. Ņūtona–Leibnica formula. $S = \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_0^{2} = \dfrac{1 \cdot 16}{4} - 0 = 4$

5. Vai atbilde ir prātīga? Taisnstūris ar platumu $2$ un augstumu $8$ (līknes vērtība galā) dotu $16$. Līkne zem tā ir izliekta, tāpēc laukumam jābūt mazākam — un $4$ tiešām ir mazāks. Tā ir laba pārbaude, kad nav droši par rēķinu.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $4$ — tad sanāk $16$, kas ir taisnstūra laukums, ne figūras.

Atrisinājums:
1. Pakāpes integrācijas formula. $\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C$, kad $n \ne -1$.
"Pakāpe par 1 augstāka, dali ar jauno pakāpi."

2. Kāpēc $+C$? Konstantes atvasinājums ir 0. Tāpēc, ja $F(x)$ ir primitīva, tad arī $F(x) + 5$ vai $F(x) - 100$ ir primitīvas. $C$ apzīmē jebkuru konstanti — neaizmirsti to!

3. Pielieto mūsu uzdevumam.
$\int 3x^{4} \, dx = 3 \cdot \dfrac{x^{5}}{5} + C = \frac{3}{5}x^{5} + C$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12x^{3} + C$ — skolēns sajaucis integrāli ar atvasinājumu (samazinājis pakāpi un izvēlējies pakāpi kā reizinātāju). Tas ir tieši pretējais.
• $3x^{4} + C$ — skolēns saglabājis to pašu pakāpi un nav dalījis. Aizmirsts gan palielināt, gan dalīt.
• $\frac{3}{4}x^{4} + C$ — skolēns dalījis ar oriģinālo pakāpi $n$, ne ar JAUNO ($n+1$). Pakāpes integrāla saucējs vienmēr ir JAUNĀ pakāpe.

5. Pārbaude — atvasini atpakaļ.
$\dfrac{d}{dx}\left[\frac{3}{5}x^{5}\right] = \dfrac{3}{5} \cdot 5 \cdot x^{4} = 3x^{4}$ ✓

6. Atmiņas palīgs. Atvasinājums = "pakāpe pirms, samazini par 1". Integrāls = OPOZĪCIJA: "palielini par 1, dali ar jauno pakāpi". Bet neaizmirsti $+C$!

7. Bieža kļūda. Aizmirst $+C$ — tas ir jāraksta gandrīz vienmēr nenoteiktajiem integrāļiem.