Bezgalīgas progresijas — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.

2. Summas formula. $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ (tikai, kad $|q| < 1$).

3. Kāpēc tā? Galīgās summas formula $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ pie $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$, tāpēc $S_n \to \dfrac{b_1(-1)}{q - 1} = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 7$, $q = \dfrac{1}{5}$. $|q| = \dfrac{1}{5} < 1$ ✓

5. Aprēķini.
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5 - 1}{5} = \dfrac{4}{5}$
$S = \dfrac{7}{\frac{4}{5}} = 7 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{35}{4} = \frac{35}{4}$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $7$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu.
• $\frac{7}{5}$ — dalīts ar $q$, nevis ar $(1 - q)$.
• $\frac{7}{6}$ — saucējā lietots $1 + q$, nevis $1 - q$.
7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 7$, $b_1 + b_2 = \frac{42}{5}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{35}{4}$ ✓

8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.

2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$

3. Pielieto formulu. Dots: $b_1 = 4$, $q = \dfrac{1}{3}$. Pārbaudām nosacījumu: $|q| = \dfrac{1}{3} < 1$ ✓
Aprēķinām saucēju:
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 - 1}{3} = \dfrac{2}{3}$
Tad summa:
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = 6$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12$ — skolēns reizinājis $b_1 \cdot \dfrac{1}{q}$, aizmirstot pamatā formulā ir $(1 - q)$, ne $q$.
• $\frac{4}{3}$ — skolēns dalījis $b_1$ ar $\dfrac{1}{q}$ jeb reizinājis ar $q$, sajaucot operāciju.
• $7$ — skolēns vienkārši saskaitījis $b_1$ ar saucēja vērtību, ignorējot formulu kopumā.

5. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 4$, $b_1 + b_2 = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$, $b_1 + b_2 + b_3 = \frac{52}{9}$ ... locekļi tuvojas $6$ ✓

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.

2. Summas formula. $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ (tikai, kad $|q| < 1$).

3. Kāpēc tā? Galīgās summas formula $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ pie $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$, tāpēc $S_n \to \dfrac{b_1(-1)}{q - 1} = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 5$, $q = \dfrac{1}{3}$. $|q| = \dfrac{1}{3} < 1$ ✓

5. Aprēķini.
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 - 1}{3} = \dfrac{2}{3}$
$S = \dfrac{5}{\frac{2}{3}} = 5 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2} = \frac{15}{2}$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{5}{4}$ — saucējā lietots $1 + q$, nevis $1 - q$.
• $25$ — pirmais loceklis kāpināts kvadrātā.
• $8$ — saskaitīts $b_1$ ar saucēju; formulā ir dalīšana, ne saskaitīšana.
7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 5$, $b_1 + b_2 = \frac{20}{3}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{15}{2}$ ✓

8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.

2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$

3. Pielieto formulu. Dots: $b_1 = 10$, $q = \dfrac{1}{3}$. Pārbaudām nosacījumu: $|q| = \dfrac{1}{3} < 1$ ✓
Aprēķinām saucēju:
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 - 1}{3} = \dfrac{2}{3}$
Tad summa:
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{10}{\frac{2}{3}} = 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $30$ — skolēns reizinājis $b_1 \cdot \dfrac{1}{q}$, aizmirstot pamatā formulā ir $(1 - q)$, ne $q$.
• $\frac{10}{3}$ — skolēns dalījis $b_1$ ar $\dfrac{1}{q}$ jeb reizinājis ar $q$, sajaucot operāciju.
• $13$ — skolēns vienkārši saskaitījis $b_1$ ar saucēja vērtību, ignorējot formulu kopumā.

5. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 10$, $b_1 + b_2 = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3}$, $b_1 + b_2 + b_3 = \frac{130}{9}$ ... locekļi tuvojas $15$ ✓

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.

2. Summas formula. $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ (tikai, kad $|q| < 1$).

3. Kāpēc tā? Galīgās summas formula $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ pie $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$, tāpēc $S_n \to \dfrac{b_1(-1)}{q - 1} = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = \dfrac{1}{4}$. $|q| = \dfrac{1}{4} < 1$ ✓

5. Aprēķini.
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 - 1}{4} = \dfrac{3}{4}$
$S = \dfrac{2}{\frac{3}{4}} = 2 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3} = \frac{8}{3}$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu.
• $\frac{1}{2}$ — dalīts ar $q$, nevis ar $(1 - q)$.
• $6$ — saskaitīts $b_1$ ar saucēju; formulā ir dalīšana, ne saskaitīšana.
7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 2$, $b_1 + b_2 = \frac{5}{2}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{8}{3}$ ✓

8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.

2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$

3. Pielieto formulu. Dots: $b_1 = 3$, $q = \dfrac{1}{3}$. Pārbaudām nosacījumu: $|q| = \dfrac{1}{3} < 1$ ✓
Aprēķinām saucēju:
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 - 1}{3} = \dfrac{2}{3}$
Tad summa:
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \dfrac{3}{2} = \frac{9}{2}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — skolēns reizinājis $b_1 \cdot \dfrac{1}{q}$, aizmirstot pamatā formulā ir $(1 - q)$, ne $q$.
• $1$ — skolēns dalījis $b_1$ ar $\dfrac{1}{q}$ jeb reizinājis ar $q$, sajaucot operāciju.
• $6$ — skolēns vienkārši saskaitījis $b_1$ ar saucēja vērtību, ignorējot formulu kopumā.

5. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 3$, $b_1 + b_2 = 3 + 1 = 4$, $b_1 + b_2 + b_3 = \frac{13}{3}$ ... locekļi tuvojas $\frac{9}{2}$ ✓

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.

2. Summas formula. $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ (tikai, kad $|q| < 1$).

3. Kāpēc tā? Galīgās summas formula $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ pie $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$, tāpēc $S_n \to \dfrac{b_1(-1)}{q - 1} = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 4$, $q = \dfrac{1}{5}$. $|q| = \dfrac{1}{5} < 1$ ✓

5. Aprēķini.
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5 - 1}{5} = \dfrac{4}{5}$
$S = \dfrac{4}{\frac{4}{5}} = 4 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $1$ — aizmirsta reizināšana ar saucēju.
• $\frac{4}{5}$ — dalīts ar $q$, nevis ar $(1 - q)$.
• $20$ — reizināts ar $5$, nevis dalīts ar $(1 - q)$.
7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 4$, $b_1 + b_2 = \frac{24}{5}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $5$ ✓

8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.

2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$

3. Pielieto formulu. Dots: $b_1 = 5$, $q = \dfrac{1}{5}$. Pārbaudām nosacījumu: $|q| = \dfrac{1}{5} < 1$ ✓
Aprēķinām saucēju:
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5 - 1}{5} = \dfrac{4}{5}$
Tad summa:
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{5}{\frac{4}{5}} = 5 \cdot \dfrac{5}{4} = \frac{25}{4}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $25$ — skolēns reizinājis $b_1 \cdot \dfrac{1}{q}$, aizmirstot pamatā formulā ir $(1 - q)$, ne $q$.
• $1$ — skolēns dalījis $b_1$ ar $\dfrac{1}{q}$ jeb reizinājis ar $q$, sajaucot operāciju.
• $10$ — skolēns vienkārši saskaitījis $b_1$ ar saucēja vērtību, ignorējot formulu kopumā.

5. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 5$, $b_1 + b_2 = 5 + 1 = 6$, $b_1 + b_2 + b_3 = \frac{31}{5}$ ... locekļi tuvojas $\frac{25}{4}$ ✓

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Virkne ar $|q| < 1$, kuras locekļi kļūst arvien mazāki un summā tuvojas konkrētai vērtībai.

2. Summas formula. $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ (tikai, kad $|q| < 1$).

3. Kāpēc tā? Galīgās summas formula $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ pie $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$, tāpēc $S_n \to \dfrac{b_1(-1)}{q - 1} = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = \dfrac{1}{5}$. $|q| = \dfrac{1}{5} < 1$ ✓

5. Aprēķini.
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{5 - 1}{5} = \dfrac{4}{5}$
$S = \dfrac{2}{\frac{4}{5}} = 2 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $\frac{2}{5}$ — dalīts ar $q$, nevis ar $(1 - q)$.
• $2$ — paņemts tikai PIRMAIS loceklis; summa ietver bezgalīgi daudz locekļu.
• $10$ — reizināts ar $5$, nevis dalīts ar $(1 - q)$.
7. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 2$, $b_1 + b_2 = \frac{12}{5}$, ... Visu pirmo locekļu summa pakāpeniski tuvojas $\frac{5}{2}$ ✓

8. Bieža kļūda. Pārbaudi $|q| < 1$ — ja $|q| \geq 1$, summa nav galīga (locekļi neatpazīstami pieaug).

Atrisinājums:
1. Bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas koncepts. Tā ir progresija ar $|q| < 1$, kur locekļi kļūst arvien mazāki ($b_1, b_1 q, b_1 q^2, \ldots$). Lai gan locekļu ir BEZGALĪGI daudz, to summa konverģē uz konkrētu galīgu vērtību.

2. Kāpēc summa konverģē? Galīgās summas formula ir $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Kad $|q| < 1$ un $n \to \infty$: $q^n \to 0$ (locekļi tik mazi, ka pazūd). Tāpēc:
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \dfrac{b_1(1 - 0)}{1 - q} = \dfrac{b_1}{1 - q}$

3. Pielieto formulu. Dots: $b_1 = 2$, $q = \dfrac{1}{4}$. Pārbaudām nosacījumu: $|q| = \dfrac{1}{4} < 1$ ✓
Aprēķinām saucēju:
$1 - q = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 - 1}{4} = \dfrac{3}{4}$
Tad summa:
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{2}{\frac{3}{4}} = 2 \cdot \dfrac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8$ — skolēns reizinājis $b_1 \cdot \dfrac{1}{q}$, aizmirstot pamatā formulā ir $(1 - q)$, ne $q$.
• $\frac{1}{2}$ — skolēns dalījis $b_1$ ar $\dfrac{1}{q}$ jeb reizinājis ar $q$, sajaucot operāciju.
• $6$ — skolēns vienkārši saskaitījis $b_1$ ar saucēja vērtību, ignorējot formulu kopumā.

5. Pārbaude — daļējās summas. $b_1 = 2$, $b_1 + b_2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$, $b_1 + b_2 + b_3 = \frac{21}{8}$ ... locekļi tuvojas $\frac{8}{3}$ ✓