Atvasinājumi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 6x^{5} + 2x^{3} - 4$.

3. Atvasini katru locekli.
$(6x^{5})' = 6 \cdot 5 \cdot x^{4} = 30x^{4}$
$(2x^{3})' = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} = 6x^{2}$
$(-4)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 30x^{4} + 6x^{2}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $6x^{4} + 2x^{2}$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $30x^{5} + 6x^{3}$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $6x^{6} + 2x^{4}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(3x^{3})' = 3 \cdot 3 \cdot x^{2} = 9x^{2}$
$(5x)' = 5$
$f'(x) = 9x^{2} + 5$

4. Solis 2 — ievieto $x = 2$.
$f'(2) = 9 \cdot 2^{2} + 5$
$= 36 + 5 = 41$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $44$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 41$.
• $82$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 41$.
• $42$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 41$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 2$ ir $41$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 3x^{2} + 2x + 3$.

3. Atvasini katru locekli.
$(3x^{2})' = 3 \cdot 2 \cdot x^{1} = 6x^{1}$
$(2x)' = 2 \cdot 1 = 2$
$(3)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 6x^{1} + 2$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3x^{1} + 2$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $6x^{2} + 2$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $3x^{3} + 2x^{2}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(2x^{3})' = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} = 6x^{2}$
$(3x)' = 3$
$f'(x) = 6x^{2} + 3$

4. Solis 2 — ievieto $x = 2$.
$f'(2) = 6 \cdot 2^{2} + 3$
$= 24 + 3 = 27$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — ievietots $x = 1$, nevis $x = 2$; tā ir koeficientu summa.
• $14$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 27$.
• $29$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 27$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 2$ ir $27$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 4x^{3} + 4x - 4$.

3. Atvasini katru locekli.
$(4x^{3})' = 4 \cdot 3 \cdot x^{2} = 12x^{2}$
$(4x)' = 4 \cdot 1 = 4$
$(-4)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 12x^{2} + 4$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4x^{2} + 4$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $12x^{3} + 4$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $4x^{4} + 4x^{2}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(2x^{2})' = 2 \cdot 2 \cdot x^{1} = 4x$
$(3x)' = 3$
$f'(x) = 4x + 3$

4. Solis 2 — ievieto $x = 4$.
$f'(4) = 4 \cdot 4^{1} + 3$
$= 16 + 3 = 19$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4$ — aprēķina kļūda; $f'(4) = 19$.
• $38$ — aprēķina kļūda; $f'(4) = 19$.
• $44$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 4$ sākotnējā funkcijā.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 4$ ir $19$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 3x^{4} + 3x^{3} - 4$.

3. Atvasini katru locekli.
$(3x^{4})' = 3 \cdot 4 \cdot x^{3} = 12x^{3}$
$(3x^{3})' = 3 \cdot 3 \cdot x^{2} = 9x^{2}$
$(-4)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 12x^{3} + 9x^{2}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3x^{3} + 3x^{2}$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $12x^{4} + 9x^{3}$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $3x^{5} + 3x^{4}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(2x^{3})' = 2 \cdot 3 \cdot x^{2} = 6x^{2}$
$(2x)' = 2$
$f'(x) = 6x^{2} + 2$

4. Solis 2 — ievieto $x = 2$.
$f'(2) = 6 \cdot 2^{2} + 2$
$= 24 + 2 = 26$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $20$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 2$ sākotnējā funkcijā.
• $6$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 26$.
• $52$ — aprēķina kļūda; $f'(2) = 26$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 2$ ir $26$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma pamatkārtulas.
• $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ (pakāpes)
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (konstante "iznāk")
• $(f + g)' = f' + g'$ (summa)
• $(c)' = 0$ (konstante)

2. Pielieto katram loceklim. Funkcija $f(x) = 4x^{3} + 2x^{2} + 4$.

3. Atvasini katru locekli.
$(4x^{3})' = 4 \cdot 3 \cdot x^{2} = 12x^{2}$
$(2x^{2})' = 2 \cdot 2 \cdot x^{1} = 4x^{1}$
$(4)' = 0$

4. Saliec kopā.
$f'(x) = 12x^{2} + 4x^{1}$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $4x^{2} + 2x^{1}$ — skolēns samazinājis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS iznest pakāpi kā reizinātāju ($n$). Pareizais ir $a \cdot n \cdot x^{n-1}$, ne tikai $a \cdot x^{n-1}$.
• $12x^{3} + 4x^{2}$ — skolēns iznesis pakāpi (pareizi), bet AIZMIRSIS samazināt pakāpi par 1. Atvasinājuma pakāpe vienmēr ir par 1 mazāka nekā oriģinālā.
• $4x^{4} + 2x^{3}$ — skolēns sajaucis atvasinājumu ar integrāli (palielinājis pakāpi par 1, ne samazinājis). Šī ir tipiska kļūda, sajaucot abus operācijas.

6. Bieža kļūda — pakāpes nemazināšana. $(x^n)' \ne nx^n$, bet $nx^{n-1}$. Pakāpe samazinās par 1.

7. Atmiņas palīgs. "Iznes pakāpi pirms, samazini par 1". Piem., $(x^5)' = 5x^4$.

Atrisinājums:
1. Atvasinājuma vērtība punktā. Tas ir tangentes slīpums funkcijas grafikā punktā $x_0$.

2. Stratēģija — divsoli ar summas likumu. Polinomam vispirms atvasini KATRU locekli atsevišķi (summas likums), tad ievieto $x_0$.

3. Solis 1 — atrod $f'(x)$. Pielieto pakāpes likumu $(x^n)' = nx^{n-1}$ katram loceklim:
$(3x^{3})' = 3 \cdot 3 \cdot x^{2} = 9x^{2}$
$(4x)' = 4$
$f'(x) = 9x^{2} + 4$

4. Solis 2 — ievieto $x = 3$.
$f'(3) = 9 \cdot 3^{2} + 4$
$= 81 + 4 = 85$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $93$ — nav atvasināts vispār, tikai ievietots $x = 3$ sākotnējā funkcijā.
• $88$ — aprēķina kļūda; $f'(3) = 85$.
• $170$ — aprēķina kļūda; $f'(3) = 85$.
6. Ģeometriskā interpretācija. Tangentes slīpums grafikam punktā $x = 3$ ir $85$.

7. Bieža kļūda. Ievietot $x_0$ TIEŠI funkcijā, nevis atvasinājumā.