Piramīda — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 48^2 \cdot 45 = \dfrac{103680}{3} = 34560$ cm³.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$. Pamata mala ir KVADRĀTĀ, tāpēc tilpums pieaug $4^2 = 16$ reizes.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 18^2 \cdot 40 = \dfrac{12960}{3} = 4320$ cm³.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$. Pamata mala ir KVADRĀTĀ, tāpēc tilpums pieaug $2^2 = 4$ reizes.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} a^2 h$. Pamata mala ir KVADRĀTĀ, tāpēc tilpums pieaug $3^2 = 9$ reizes.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 14^2 \cdot 24 = \dfrac{4704}{3} = 1568$ cm³.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{pamata}} h = \dfrac{1}{3} \cdot 32^2 \cdot 30 = \dfrac{30720}{3} = 10240$ cm³.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. Pamata apotēma ir puse no malas: $40 : 2 = 20$ cm. Sānu skaldnes augstums, piramīdas augstums un pamata apotēma veido taisnleņķa trijstūri:
$l = \sqrt{20^2 + 48^2} = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704} = 52$ cm.

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. Sānu virsmu veido $4$ vienādi trijstūri: $S_{\text{sānu}} = 4 \cdot \dfrac{1}{2} a \cdot l = 2 a l = 2 \cdot 24 \cdot 37 = 1776$ cm².

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.

Atrisinājums:
1. Regulāras četrstūra piramīdas formulas.
$V = \dfrac{1}{3} a^2 h$
$S_{\text{sānu}} = 2 a l$, kur $l$ ir sānu skaldnes augstums (apotēma)
$l^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2$

2. Šim uzdevumam. Sānu virsmu veido $4$ vienādi trijstūri: $S_{\text{sānu}} = 4 \cdot \dfrac{1}{2} a \cdot l = 2 a l = 2 \cdot 14 \cdot 25 = 700$ cm².

3. Biežākā kļūda. Sajaukt piramīdas AUGSTUMU $h$ (no virsotnes uz pamata centru) ar sānu skaldnes augstumu $l$ (no virsotnes uz pamata malas viduspunktu). Tilpumā lieto $h$, sānu virsmā — $l$.