Sfēra un lode — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 7$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 7^3 = 343$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 343 = \dfrac{1372}{3}\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 1436$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $343\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $1372\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{343}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

2. Pielīdzinām dotajam. $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{256\pi}{3}$

3. Saīsinām. $\pi$ ir abās pusēs, un abās pusēs ir dalījums ar $3$ — tie saīsinās:
$4r^3 = 256$, tātad $r^3 = 64$

4. Kuba sakne. $r = \sqrt[3]{64} = 4$ cm

5. Pārbaude. $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{4 \cdot 64}{3}\pi = \dfrac{256\pi}{3}$ — sakrīt.

6. Bieža kļūda. Apstāties pie $r^3 = 64$ un uzrakstīt to kā atbildi. Jautāts par rādiusu, ne par tā kubu.

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 13$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 13^3 = 2197$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2197 = \dfrac{8788}{3}\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 9198{,}1$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2197\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $8788\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{2197}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Formula. $S = 4\pi r^2$

2. Pielīdzinām dotajam. $4\pi r^2 = 36\pi$

3. Saīsinām $\pi$. Tas ir abās pusēs, tāpēc pazūd: $4r^2 = 36$, tātad $r^2 = 9$.

4. Sakne. $r = \sqrt{9} = 3$ cm. Negatīvo sakni atmetam — rādiuss nevar būt negatīvs.

5. Pārbaude. $4\pi \cdot 3^2 = 36\pi$ — sakrīt.

6. Bieža kļūda. Sajaukt lodes virsmu ar riņķa laukumu $\pi r^2$. Lodes virsma ir tieši četras reizes lielāka.

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 15$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 15^3 = 3375$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3375 = \dfrac{13500}{3}\pi$ cm³ $= 4500\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 14130$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $3375\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $13500\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{3375}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

2. Pielīdzinām dotajam. $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2048\pi}{3}$

3. Saīsinām. $\pi$ ir abās pusēs, un abās pusēs ir dalījums ar $3$ — tie saīsinās:
$4r^3 = 2048$, tātad $r^3 = 512$

4. Kuba sakne. $r = \sqrt[3]{512} = 8$ cm

5. Pārbaude. $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 8^3 = \dfrac{4 \cdot 512}{3}\pi = \dfrac{2048\pi}{3}$ — sakrīt.

6. Bieža kļūda. Apstāties pie $r^3 = 512$ un uzrakstīt to kā atbildi. Jautāts par rādiusu, ne par tā kubu.

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 3$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 3^3 = 27$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = \dfrac{108}{3}\pi$ cm³ $= 36\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 113$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $27\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $108\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{27}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Formula. $S = 4\pi r^2$

2. Pielīdzinām dotajam. $4\pi r^2 = 16\pi$

3. Saīsinām $\pi$. Tas ir abās pusēs, tāpēc pazūd: $4r^2 = 16$, tātad $r^2 = 4$.

4. Sakne. $r = \sqrt{4} = 2$ cm. Negatīvo sakni atmetam — rādiuss nevar būt negatīvs.

5. Pārbaude. $4\pi \cdot 2^2 = 16\pi$ — sakrīt.

6. Bieža kļūda. Sajaukt lodes virsmu ar riņķa laukumu $\pi r^2$. Lodes virsma ir tieši četras reizes lielāka.

Atrisinājums:
1. Lodes tilpuma formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, kur $r$ ir lodes rādiuss.

2. Iegaumēšanai. Lodes tilpums ir $\dfrac{2}{3}$ no aptverošā cilindra (ar to pašu rādiusu un augstumu $2r$). Šī sakarība bija viena no Arhimēda pirmajām lielajām atklāšanām.

3. Atzīmē, kas dots. $r = 2$ cm.

4. Aprēķini soli pa solim.
$r^3 = 2^3 = 8$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 8 = \dfrac{32}{3}\pi$ cm³.

5. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 33{,}5$ cm³.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8\pi$ cm³ — skolēns aizmirsis koeficientu $\dfrac{4}{3}$ formulā. $r^3$ vien nedod tilpumu — tas dotu kuba ar šķautni $r$ tilpumu.
• $32\pi$ cm³ — skolēns reizinājis ar $4$, bet aizmirsis dalīt ar $3$. Pareizais koeficients ir $\dfrac{4}{3}$ — abi skaitļi vienlaikus.
• $\dfrac{8}{3}\pi$ cm³ — skolēns dalījis ar $3$, bet aizmirsis reizināt ar $4$. Sajauc ar konusa tilpuma formulu $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

7. Bieža kļūda. Nesajauc ar lodes virsmas laukumu $S = 4\pi r^2$ (kvadrātā, ne kubā).

Atrisinājums:
1. Formula. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

2. Pielīdzinām dotajam. $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{1372\pi}{3}$

3. Saīsinām. $\pi$ ir abās pusēs, un abās pusēs ir dalījums ar $3$ — tie saīsinās:
$4r^3 = 1372$, tātad $r^3 = 343$

4. Kuba sakne. $r = \sqrt[3]{343} = 7$ cm

5. Pārbaude. $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 7^3 = \dfrac{4 \cdot 343}{3}\pi = \dfrac{1372\pi}{3}$ — sakrīt.

6. Bieža kļūda. Apstāties pie $r^3 = 343$ un uzrakstīt to kā atbildi. Jautāts par rādiusu, ne par tā kubu.