Bernulli shēma — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0{,}5$ trāpīt, $1-p = 0{,}5$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^2 = 6$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0{,}5^{2} = 0{,}2500$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}5^{2} = 0{,}2500$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(2) = 6 \cdot 0{,}2500 \cdot 0{,}2500 \approx 0{,}375$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}7500$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $3{,}0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}5$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}375 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0{,}6$ trāpīt, $1-p = 0{,}4$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^2 = 10$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0{,}6^{2} = 0{,}3600$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}4^{3} = 0{,}0640$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(2) = 10 \cdot 0{,}3600 \cdot 0{,}0640 \approx 0{,}2304$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}4608$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $6{,}0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}6$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}2304 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0{,}7$ trāpīt, $1-p = 0{,}3$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 1$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^1 = 5$ (cik veidos sadalīt 1 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0{,}7^{1} = 0{,}7000$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}3^{4} = 0{,}0081$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(1) = 5 \cdot 0{,}7000 \cdot 0{,}0081 \approx 0{,}0284$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}0568$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $3{,}5000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}7$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}0284 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0{,}5$ trāpīt, $1-p = 0{,}5$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 1$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^1 = 4$ (cik veidos sadalīt 1 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0{,}5^{1} = 0{,}5000$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}5^{3} = 0{,}1250$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(1) = 4 \cdot 0{,}5000 \cdot 0{,}1250 \approx 0{,}25$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}5000$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $2{,}0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}5$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}25 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0{,}7$ trāpīt, $1-p = 0{,}3$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 3$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^3 = 4$ (cik veidos sadalīt 3 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0{,}7^{3} = 0{,}3430$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}3^{1} = 0{,}3000$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(3) = 4 \cdot 0{,}3430 \cdot 0{,}3000 \approx 0{,}4116$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}8232$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $2{,}8000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}7$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}4116 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0{,}7$ trāpīt, $1-p = 0{,}3$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 4$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^4 = 5$ (cik veidos sadalīt 4 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0{,}7^{4} = 0{,}2401$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}3^{1} = 0{,}3000$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(4) = 5 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}3000 \approx 0{,}3601$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}7202$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $3{,}5000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}7$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}3601 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 4$ šāvieni, $p = 0{,}8$ trāpīt, $1-p = 0{,}2$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_4^2 = 6$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 4 šāvieniem)
$p^k = 0{,}8^{2} = 0{,}6400$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}2^{2} = 0{,}0400$

5. Reizini visu kopā.
$P_4(2) = 6 \cdot 0{,}6400 \cdot 0{,}0400 \approx 0{,}1536$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}3072$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $4{,}8000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}8$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}1536 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 3$ šāvieni, $p = 0{,}6$ trāpīt, $1-p = 0{,}4$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_3^2 = 3$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 3 šāvieniem)
$p^k = 0{,}6^{2} = 0{,}3600$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}4^{1} = 0{,}4000$

5. Reizini visu kopā.
$P_3(2) = 3 \cdot 0{,}3600 \cdot 0{,}4000 \approx 0{,}432$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}8640$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $1{,}8000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}6$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}432 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0{,}7$ trāpīt, $1-p = 0{,}3$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 3$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^3 = 10$ (cik veidos sadalīt 3 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0{,}7^{3} = 0{,}3430$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}3^{2} = 0{,}0900$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(3) = 10 \cdot 0{,}3430 \cdot 0{,}0900 \approx 0{,}3087$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}6174$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $7{,}0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}7$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}3087 der ✓

Atrisinājums:
1. Bernulli shēma. Notikums ar varbūtību $p$ tiek atkārtots $n$ reizes, neatkarīgi. Varbūtība, ka tas notiek tieši $k$ reizes:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

2. Formulas dalas.
• $C_n^k$ — cik veidos var izvēlēties, kuras $k$ reizes notikums notiek.
• $p^k$ — varbūtība, ka tieši šajos $k$ mēģinājumos notikums notiek.
• $(1-p)^{n-k}$ — varbūtība, ka pārējās $n-k$ reizes notikums NENOTIEK.

3. Atzīmē, kas dots. $n = 5$ šāvieni, $p = 0{,}7$ trāpīt, $1-p = 0{,}3$ netrāpīt. Meklē varbūtību, ka tieši $k = 2$ trāpījumi.

4. Aprēķini soli pa solim.
$C_5^2 = 10$ (cik veidos sadalīt 2 trāpījumus pa 5 šāvieniem)
$p^k = 0{,}7^{2} = 0{,}4900$
$(1-p)^{n-k} = 0{,}3^{3} = 0{,}0270$

5. Reizini visu kopā.
$P_5(2) = 10 \cdot 0{,}4900 \cdot 0{,}0270 \approx 0{,}1323$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $0{,}2646$ — skolēns dubultojis vērtību vai aizmirsis dalīt formulā. Tipiska aprēķinu kļūda Bernulli formulas vienā no daļām.
• $7{,}0000$ — skolēns reizinājis tikai $C_n^k \cdot p$, aizmirstot pakāpināt $p$ un atstājot ārā $(1-p)^{n-k}$ daļu.
• $0{,}7$ — skolēns ievadījis pašu varbūtību $p$, ne aprēķinājis kombinatorisko izteiksmi visiem $k$ trāpījumiem.

7. Kontroles pārbaude. Bernulli varbūtība ir starp $0$ un $1$. Mūsu rezultāts 0{,}1323 der ✓