Izteiksmju sadalīšana reizinājumos — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Atpazīsti formulu. Šī ir kvadrātu starpība: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Identificē $a$ un $b$.
$25x^2 = (5x)^2 \Rightarrow a = 5x$
$36 = 6^2 \Rightarrow b = 6$

3. Lieto formulu. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, tāpēc $25x^2 - 36 = (5x - 6)(5x + 6)$.

4. Pārbaude (atver iekavas). $(5x - 6)(5x + 6) = 25x^2 + 30x - 30x - 36 = 25x^2 - 36$ ✓.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar pilna kvadrāta formulu: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — bet šeit nav vidējā $-2ab$ termina, tāpēc tā NAV pilns kvadrāts.

6. Atmiņas paņēmiens. "Mīnus starp diviem kvadrātiem" → vienmēr ir kvadrātu starpība, divas iekavas ar pretējām zīmēm.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Locekļi ir $35x^2$ un $30x$.

2. Skaitliskie koeficienti. $\text{LDK}(35, 30) = 5$.

3. Mainīgie. $x^2$ saturā $x$ divreiz, $x$ — vienreiz. Kopīgā daļa = $x$ (mazākā pakāpe).

4. Kopīgais reizinātājs = $5x$. Dali katru locekli: $\dfrac{35x^2}{5x} = 7x$, $\dfrac{30x}{5x} = 6$.

5. Rezultāts. $35x^2 + 30x = 5x(7x + 6)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $5x(7x + 6) = 35x^2 + 30x = 35x^2 + 30x$ ✓.

7. Padoms. Vienmēr izņem MAKSIMĀLO kopīgo reizinātāju — gan skaitlisko, gan mainīgā. Iekavās paliekušais nedrīkst saturēt nekādu kopīgo reizinātāju.

Atrisinājums:
1. Atpazīsti formulu. Šī ir kvadrātu starpība: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Identificē $a$ un $b$.
$x^2 = (x)^2 \Rightarrow a = x$
$9 = 3^2 \Rightarrow b = 3$

3. Lieto formulu. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, tāpēc $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

4. Pārbaude (atver iekavas). $(x - 3)(x + 3) = x^2 + 3x - 3x - 9 = x^2 - 9$ ✓.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar pilna kvadrāta formulu: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — bet šeit nav vidējā $-2ab$ termina, tāpēc tā NAV pilns kvadrāts.

6. Atmiņas paņēmiens. "Mīnus starp diviem kvadrātiem" → vienmēr ir kvadrātu starpība, divas iekavas ar pretējām zīmēm.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Termini ir $21x$ un $9y$. Skaitliskie koeficienti: $21$ un $9$.

2. Atrod LDK (lielāko kopīgo dalītāju). $\text{LDK}(21, 9) = 3$.

3. Mainīgie. Vai $x$ un $y$ ir kopīgi? $x$ ir tikai 1. loceklī, $y$ — tikai 2. Tātad mainīgo kopīgā daļa = nav.

4. Kopīgais reizinātājs = $3$. Izņem to ārpus iekavām, dalot katru locekli ar $3$: $\dfrac{21x}{3} = 7x$, $\dfrac{9y}{3} = 3y$.

5. Pieraksti rezultātu. $21x + 9y = 3(7x + 3y)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $3(7x + 3y) = 21x + 9y = 21x + 9y$ ✓.

7. Bieža kļūda. Izņemt par maz (piem., tikai $1$, ja $3$ derētu) vai izņemt $x$/$y$, kuri nav abos locekļos.

Atrisinājums:
1. Meklē kopīgo reizinātāju. Termini ir $25x$ un $15y$. Skaitliskie koeficienti: $25$ un $15$.

2. Atrod LDK (lielāko kopīgo dalītāju). $\text{LDK}(25, 15) = 5$.

3. Mainīgie. Vai $x$ un $y$ ir kopīgi? $x$ ir tikai 1. loceklī, $y$ — tikai 2. Tātad mainīgo kopīgā daļa = nav.

4. Kopīgais reizinātājs = $5$. Izņem to ārpus iekavām, dalot katru locekli ar $5$: $\dfrac{25x}{5} = 5x$, $\dfrac{15y}{5} = 3y$.

5. Pieraksti rezultātu. $25x + 15y = 5(5x + 3y)$.

6. Pārbaude (atver iekavas). $5(5x + 3y) = 25x + 15y = 25x + 15y$ ✓.

7. Bieža kļūda. Izņemt par maz (piem., tikai $2$, ja $5$ derētu) vai izņemt $x$/$y$, kuri nav abos locekļos.

Atrisinājums:
1. Atpazīsti formulu. Šī ir kvadrātu starpība: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Identificē $a$ un $b$.
$16x^2 = (4x)^2 \Rightarrow a = 4x$
$9 = 3^2 \Rightarrow b = 3$

3. Lieto formulu. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, tāpēc $16x^2 - 9 = (4x - 3)(4x + 3)$.

4. Pārbaude (atver iekavas). $(4x - 3)(4x + 3) = 16x^2 + 12x - 12x - 9 = 16x^2 - 9$ ✓.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar pilna kvadrāta formulu: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — bet šeit nav vidējā $-2ab$ termina, tāpēc tā NAV pilns kvadrāts.

6. Atmiņas paņēmiens. "Mīnus starp diviem kvadrātiem" → vienmēr ir kvadrātu starpība, divas iekavas ar pretējām zīmēm.

Atrisinājums:
1. Atpazīsti formulu. Šī ir kvadrātu starpība: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Identificē $a$ un $b$.
$25x^2 = (5x)^2 \Rightarrow a = 5x$
$64 = 8^2 \Rightarrow b = 8$

3. Lieto formulu. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, tāpēc $25x^2 - 64 = (5x - 8)(5x + 8)$.

4. Pārbaude (atver iekavas). $(5x - 8)(5x + 8) = 25x^2 + 40x - 40x - 64 = 25x^2 - 64$ ✓.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar pilna kvadrāta formulu: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — bet šeit nav vidējā $-2ab$ termina, tāpēc tā NAV pilns kvadrāts.

6. Atmiņas paņēmiens. "Mīnus starp diviem kvadrātiem" → vienmēr ir kvadrātu starpība, divas iekavas ar pretējām zīmēm.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$x^2 = (x)^2 \Rightarrow a = x$
$36 = 6^2 \Rightarrow b = 6$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$. Tā ir $12x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(x + 6)^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$16x^2 = (4x)^2 \Rightarrow a = 4x$
$25 = 5^2 \Rightarrow b = 5$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot 4x \cdot 5 = 40x$. Tā ir $40x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $16x^2 + 40x + 25 = (4x + 5)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(4x + 5)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 16x^2 + 40x + 25$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.

Atrisinājums:
1. Pārbaudi, vai ir pilns kvadrāts. Formula: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Identificē $a^2$ un $b^2$.
$x^2 = (x)^2 \Rightarrow a = x$
$4 = 2^2 \Rightarrow b = 2$

3. Pārbaudi vidējo locekli. $2ab$ jābūt vienādam ar vidējo locekli: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$. Tā ir $4x$ — sakrīt ✓.

4. Tātad atbilde. $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

5. Pārbaude (atver iekavas). $(x + 2)^2 = (x)^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$ ✓.

6. Bieža kļūda. Sajaukt zīmi vidējā loceklī: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — vidējais ir mīnus. Šeit visi locekļi ir plus, tāpēc lieto $(a + b)^2$.