Kvadrātvienādojumi (diskriminants, Vjeta) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{7 \pm 3}{2}$

$x_1 = \dfrac{4}{2} = 2$, $x_2 = \dfrac{10}{2} = 5$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 7 = -b/a = 7$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = 10 = c/a = 10$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -7$, tāpēc $-b = 7$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 5x + 6 = 0$, tāpēc $p = -5$, $q = 6$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $5$ un reizinājumā $6$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $6$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 6 = 6$ (summa $7$),
$2 \cdot 3 = 6$ (summa $5$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 2$:   $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓
$x = 3$:   $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -2, x_2 = -3$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-2) + (-3) = -5$, kas neatbilst saknes summai $5$.
• $x_1 = 3, x_2 = 4$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $7$ un reizinājums $12$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($5$ un $6$).
• $x_1 = 2, x_2 = 5$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 5^2 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = 4$, $c = -12$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 - (-48) = 64$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{-4 \pm 8}{2}$

$x_1 = \dfrac{-12}{2} = -6$, $x_2 = \dfrac{4}{2} = 2$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = -4 = -b/a = -4$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = -12 = c/a = -12$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = 4$, tāpēc $-b = -4$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 6x + 8 = 0$, tāpēc $p = -6$, $q = 8$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $6$ un reizinājumā $8$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $8$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 8 = 8$ (summa $9$),
$2 \cdot 4 = 8$ (summa $6$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 2$:   $2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$ ✓
$x = 4$:   $4^2 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -2, x_2 = -4$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-2) + (-4) = -6$, kas neatbilst saknes summai $6$.
• $x_1 = 3, x_2 = 5$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $8$ un reizinājums $15$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($6$ un $8$).
• $x_1 = 2, x_2 = 6$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 6^2 - 4 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{6 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = 8$, $c = 15$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{-8 \pm 2}{2}$

$x_1 = \dfrac{-10}{2} = -5$, $x_2 = \dfrac{-6}{2} = -3$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = -8 = -b/a = -8$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = 15 = c/a = 15$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = 8$, tāpēc $-b = -8$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 10x + 21 = 0$, tāpēc $p = -10$, $q = 21$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $10$ un reizinājumā $21$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $21$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 21 = 21$ (summa $22$),
$3 \cdot 7 = 21$ (summa $10$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 3$:   $3^2 - 10 \cdot 3 + 21 = 9 - 30 + 21 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 10 \cdot 7 + 21 = 49 - 70 + 21 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -3, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-3) + (-7) = -10$, kas neatbilst saknes summai $10$.
• $x_1 = 4, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $12$ un reizinājums $32$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($10$ un $21$).
• $x_1 = 3, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 10^2 - 4 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$. $\sqrt{D} = 4$. $x = \dfrac{10 \pm 4}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = 7$, $c = 12$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{-7 \pm 1}{2}$

$x_1 = \dfrac{-8}{2} = -4$, $x_2 = \dfrac{-6}{2} = -3$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = -7 = -b/a = -7$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = 12 = c/a = 12$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = 7$, tāpēc $-b = -7$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 14x + 48 = 0$, tāpēc $p = -14$, $q = 48$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $14$ un reizinājumā $48$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $48$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 48 = 48$ (summa $49$),
$2 \cdot 24 = 48$ (summa $26$),
$3 \cdot 16 = 48$ (summa $19$),
$4 \cdot 12 = 48$ (summa $16$),
$6 \cdot 8 = 48$ (summa $14$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 6$, $x_2 = 8$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 6$:   $6^2 - 14 \cdot 6 + 48 = 36 - 84 + 48 = 0$ ✓
$x = 8$:   $8^2 - 14 \cdot 8 + 48 = 64 - 112 + 48 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -6, x_2 = -8$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-6) + (-8) = -14$, kas neatbilst saknes summai $14$.
• $x_1 = 7, x_2 = 9$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $16$ un reizinājums $63$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($14$ un $48$).
• $x_1 = 6, x_2 = 10$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 14x + 48 = (x - 6)(x - 8)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 14^2 - 4 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{14 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = 2$, $c = -8$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 - (-32) = 36$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \dfrac{-8}{2} = -4$, $x_2 = \dfrac{4}{2} = 2$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = -2 = -b/a = -2$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = -8 = c/a = -8$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = 2$, tāpēc $-b = -2$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 9x + 8 = 0$, tāpēc $p = -9$, $q = 8$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $9$ un reizinājumā $8$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $8$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 8 = 8$ (summa $9$ — der!),
$2 \cdot 4 = 8$ (summa $6$).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 9 \cdot 1 + 8 = 1 - 9 + 8 = 0$ ✓
$x = 8$:   $8^2 - 9 \cdot 8 + 8 = 64 - 72 + 8 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -8$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-8) = -9$, kas neatbilst saknes summai $9$.
• $x_1 = 2, x_2 = 9$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $11$ un reizinājums $18$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($9$ un $8$).
• $x_1 = 1, x_2 = 10$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 9x + 8 = (x - 1)(x - 8)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 9^2 - 4 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$. $\sqrt{D} = 7$. $x = \dfrac{9 \pm 7}{2}$.