Skaitļu virknes (progresijas) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 1$, $d = 2$, $n = 6$.

4. Aprēķini.
$a_{6} = 1 + (6 - 1) \cdot 2$
$a_{6} = 1 + 5 \cdot 2$
$a_{6} = 1 + 10$
$a_{6} = 11$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $10$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $16$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{6}$ ir $5$ soļi pa $2$, tāpēc kopējā maiņa ir $10$. Sākot no $1$, beigu vērtība ir $11$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 3$, $q = -2$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 3 \cdot -2^{5}$
$-2^{5} = -32$
$b_{6} = 3 \cdot -32 = -96$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $192$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-7$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-1458$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 3$, $b_2 = -6$, $b_3 = 12$, $b_4 = -24$, $b_5 = 48$, $b_6 = -96$. ✓

Atrisinājums:
1. Kura formula. Šeit meklē nevis locekli, bet locekļu SKAITU, tāpēc jāsāk ar summas formulu:
$S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

2. Ievieto zināmo.
$56 = \dfrac{2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n = \dfrac{2 + 2n}{2} \cdot n$.

3. Sanāk kvadrātvienādojums. Reizinot abas puses ar $2$:
$2n^2 + 2n - 112 = 0$.

4. Atrisini un izmet nederīgo sakni. Locekļu skaits nevar būt negatīvs vai daļskaitlis, tāpēc no divām saknēm der tikai $n = 7$.

5. Pārbaude. $a_7 = 2 + (7-1) \cdot 2 = 14$, un $S_{7} = \dfrac{2 + 14}{2} \cdot 7 = 56$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $28$ — summa dalīta ar pirmo locekli, it kā visi būtu vienādi
• $8$ — par vienu par daudz — $(n-1)$ vietā lietots $n$
• $14$ — atrasts $n$-tais LOCEKLIS $a_n = 14$, nevis locekļu skaits

Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = -8$, $d = -3$, $n = 9$.

4. Aprēķini.
$a_{9} = -8 + (9 - 1) \cdot (-3)$
$a_{9} = -8 + 8 \cdot (-3)$
$a_{9} = -8 - 24$
$a_{9} = -32$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-35$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $192$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-24$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{9}$ ir $8$ soļi pa $-3$, tāpēc kopējā maiņa ir $-24$. Sākot no $-8$, beigu vērtība ir $-32$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 6$.

5. Aprēķini.
$b_{6} = 1 \cdot 3^{5}$
$3^{5} = 243$
$b_{6} = 1 \cdot 243 = 243$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $729$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $16$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $3$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = 3$, $b_3 = 9$, $b_4 = 27$, $b_5 = 81$, $b_6 = 243$. ✓

Atrisinājums:
1. Kura formula. Šeit meklē nevis locekli, bet locekļu SKAITU, tāpēc jāsāk ar summas formulu:
$S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

2. Ievieto zināmo.
$442 = \dfrac{2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 5}{2} \cdot n = \dfrac{3 + 5n}{2} \cdot n$.

3. Sanāk kvadrātvienādojums. Reizinot abas puses ar $2$:
$5n^2 + 3n - 884 = 0$.

4. Atrisini un izmet nederīgo sakni. Locekļu skaits nevar būt negatīvs vai daļskaitlis, tāpēc no divām saknēm der tikai $n = 13$.

5. Pārbaude. $a_13 = 4 + (13-1) \cdot 5 = 64$, un $S_{13} = \dfrac{4 + 64}{2} \cdot 13 = 442$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $12$ — par vienu par maz
• $14$ — par vienu par daudz — $(n-1)$ vietā lietots $n$
• $64$ — atrasts $n$-tais LOCEKLIS $a_n = 64$, nevis locekļu skaits

Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = -1$, $d = -2$, $n = 15$.

4. Aprēķini.
$a_{15} = -1 + (15 - 1) \cdot (-2)$
$a_{15} = -1 + 14 \cdot (-2)$
$a_{15} = -1 - 28$
$a_{15} = -29$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $-31$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $28$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $-15$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{15}$ ir $14$ soļi pa $-2$, tāpēc kopējā maiņa ir $-28$. Sākot no $-1$, beigu vērtība ir $-29$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 5$.

5. Aprēķini.
$b_{5} = 2 \cdot 3^{4}$
$3^{4} = 81$
$b_{5} = 2 \cdot 81 = 162$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $486$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $14$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $96$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 2$, $b_2 = 6$, $b_3 = 18$, $b_4 = 54$, $b_5 = 162$. ✓

Atrisinājums:
1. Kura formula. Šeit meklē nevis locekli, bet locekļu SKAITU, tāpēc jāsāk ar summas formulu:
$S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

2. Ievieto zināmo.
$252 = \dfrac{2 \cdot 8 + (n-1) \cdot 5}{2} \cdot n = \dfrac{11 + 5n}{2} \cdot n$.

3. Sanāk kvadrātvienādojums. Reizinot abas puses ar $2$:
$5n^2 + 11n - 504 = 0$.

4. Atrisini un izmet nederīgo sakni. Locekļu skaits nevar būt negatīvs vai daļskaitlis, tāpēc no divām saknēm der tikai $n = 9$.

5. Pārbaude. $a_9 = 8 + (9-1) \cdot 5 = 48$, un $S_{9} = \dfrac{8 + 48}{2} \cdot 9 = 252$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $8$ — par vienu par maz

Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 10$, $d = 4$, $n = 11$.

4. Aprēķini.
$a_{11} = 10 + (11 - 1) \cdot 4$
$a_{11} = 10 + 10 \cdot 4$
$a_{11} = 10 + 40$
$a_{11} = 50$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $54$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $400$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $60$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{11}$ ir $10$ soļi pa $4$, tāpēc kopējā maiņa ir $40$. Sākot no $10$, beigu vērtība ir $50$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.