9. klasePamati

Vienādojumu sistēmas (2 nezināmie) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Q: Atrisini vienādojumu sistēmu: \begin{cases} x - 3y = 17 \\ 3x - 2y = 16 \end{cases}

x = 2; \, y = -5. 1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi : izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā. 2. Izsaki y no 1. vienādojuma. No x - 3y = 17: -3y = 17 - x, tāpēc y = \dfrac{17 - x}{-3}. 3. Ievieto otrajā vienādojumā. 3x - 2y = 16 → 3x - 2\cdot y = 16, kur y vietā liekam izteikumu no 2. soļa. 4. Atrisini attiecībā uz x. Pēc pārveidojumiem iegūstam x = 2. 5. Atrod y. Ievieto x = 2 atpakaļ 1. vienādojumā: 2 - 3y = 17, tāpēc -3y = 15, y = -5.

Q: Viena pieaugušo biļete maksā 12 EUR, viena bērnu biļete — 4 EUR. Kopā nopirktas 10 biļetes par 64 EUR. Cik pieaugušo biļešu nopirkts?

3. 1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus. x — pieaugušo biļešu skaits, y — bērnu biļešu skaits. 2. Pārtulko katru teikumu. "Kopā 10 biļetes" \Rightarrow x + y = 10 "Kopā samaksāts 64 EUR" \Rightarrow 12x + 4y = 64 3. Izsaki un ievieto. No pirmā: y = 10 - x. Ievietojam otrajā: 12x + 4(10 - x) = 64 12x + 40 - 4x = 64 8x = 24 x = 3 4. Otrs nezināmais. y = 10 - 3 = 7 5. Tipiskās kļūdas. • 1 — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos. • 2 — aprēķi

Q: Atrisini vienādojumu sistēmu: \begin{cases} 4x - y = 19 \\ 2x + y = 11 \end{cases}

x = 5; \, y = 1. 1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi : izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā. 2. Izsaki y no 1. vienādojuma. No 4x - y = 19: -y = 19 - 4x, tāpēc y = \dfrac{19 - 4x}{-1}. 3. Ievieto otrajā vienādojumā. 2x + y = 11 → 2x + \cdot y = 11, kur y vietā liekam izteikumu no 2. soļa. 4. Atrisini attiecībā uz x. Pēc pārveidojumiem iegūstam x = 5. 5. Atrod y. Ievieto x = 5 atpakaļ 1. vienādojumā: 45 - y = 19, tāpēc -y = -1, y = 1. 6.

Q: Viena biezā burtnīca maksā 4 EUR, viena plānā burtnīca — 3 EUR. Kopā nopirktas 17 burtnīcas par 63 EUR. Cik biezo burtnīcu nopirkts?

12. 1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus. x — biezo burtnīcu skaits, y — plāno burtnīcu skaits. 2. Pārtulko katru teikumu. "Kopā 17 burtnīcas" \Rightarrow x + y = 17 "Kopā samaksāts 63 EUR" \Rightarrow 4x + 3y = 63 3. Izsaki un ievieto. No pirmā: y = 17 - x. Ievietojam otrajā: 4x + 3(17 - x) = 63 4x + 51 - 3x = 63 x = 12 x = 12 4. Otrs nezināmais. y = 17 - 12 = 5 5. Tipiskās kļūdas. • 17 — atbildēts kopējais skaits. • 14 — aprēķina kļūda; pārba

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Vienādojumu sistēmas (2 nezināmie) — teorija, formulas un piemēri →

1. uzdevums

Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} x - 3y = 17 \\ 3x - 2y = 16 \end{cases}$

A) $x = -5; \, y = 2$
B) $x = 2; \, y = -5$
C) $x = -2; \, y = 5$
D) $x = 3; \, y = -6$

Pareizā atbilde: B) $x = 2; \, y = -5$

Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $x - 3y = 17$: $-3y = 17 - x$, tāpēc $y = \dfrac{17 - x}{-3}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $3x - 2y = 16$ → $3x - 2\cdot y = 16$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 2$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 2$ atpakaļ 1. vienādojumā: $2 - 3y = 17$, tāpēc $-3y = 15$, $y = -5$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $1\cdot2 + (-3)\cdot(-5) = 17 = 17$ ✓. 2. vienādojums: $3\cdot2 + (-2)\cdot(-5) = 16 = 16$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.

2. uzdevums

Viena pieaugušo biļete maksā $12$ EUR, viena bērnu biļete — $4$ EUR. Kopā nopirktas $10$ biļetes par $64$ EUR. Cik pieaugušo biļešu nopirkts?

A) $2$
B) $3$
C) $1$
D) $10$

Pareizā atbilde: B) $3$

Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — pieaugušo biļešu skaits, $y$ — bērnu biļešu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $10$ biļetes" $\Rightarrow$ $x + y = 10$
"Kopā samaksāts $64$ EUR" $\Rightarrow$ $12x + 4y = 64$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 10 - x$. Ievietojam otrajā:
$12x + 4(10 - x) = 64$
$12x + 40 - 4x = 64$
$8x = 24$
$x = 3$

4. Otrs nezināmais. $y = 10 - 3 = 7$

5. Tipiskās kļūdas.
• $1$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $2$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $10$ — atbildēts kopējais skaits.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$3 + 7 = 10$ ✓
$12 \cdot 3 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.

3. uzdevums

Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 4x - y = 19 \\ 2x + y = 11 \end{cases}$

A) $x = -5; \, y = -1$
B) $x = 6; \, y = 0$
C) $x = 5; \, y = 1$
D) $x = 1; \, y = 5$

Pareizā atbilde: C) $x = 5; \, y = 1$

Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $4x - y = 19$: $-y = 19 - 4x$, tāpēc $y = \dfrac{19 - 4x}{-1}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $2x + y = 11$ → $2x + \cdot y = 11$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 5$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 5$ atpakaļ 1. vienādojumā: $45 - y = 19$, tāpēc $-y = -1$, $y = 1$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $4\cdot5 + (-1)\cdot1 = 19 = 19$ ✓. 2. vienādojums: $2\cdot5 + 1\cdot1 = 11 = 11$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.

4. uzdevums

Viena biezā burtnīca maksā $4$ EUR, viena plānā burtnīca — $3$ EUR. Kopā nopirktas $17$ burtnīcas par $63$ EUR. Cik biezo burtnīcu nopirkts?

A) $12$
B) $14$
C) $16$
D) $17$

Pareizā atbilde: A) $12$

Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — biezo burtnīcu skaits, $y$ — plāno burtnīcu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $17$ burtnīcas" $\Rightarrow$ $x + y = 17$
"Kopā samaksāts $63$ EUR" $\Rightarrow$ $4x + 3y = 63$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 17 - x$. Ievietojam otrajā:
$4x + 3(17 - x) = 63$
$4x + 51 - 3x = 63$
$x = 12$
$x = 12$

4. Otrs nezināmais. $y = 17 - 12 = 5$

5. Tipiskās kļūdas.
• $17$ — atbildēts kopējais skaits.
• $14$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $16$ — visa nauda dalīta ar vienu cenu, it kā visas burtnīcas būtu vienādas.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$12 + 5 = 17$ ✓
$4 \cdot 12 + 3 \cdot 5 = 48 + 15 = 63$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.

5. uzdevums

Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} x - 3y = -6 \\ 2x + y = 2 \end{cases}$

A) $x = 0; \, y = 2$
B) $x = 0; \, y = -2$
C) $x = 2; \, y = 0$
D) $x = 1; \, y = 1$

Pareizā atbilde: A) $x = 0; \, y = 2$

Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $x - 3y = -6$: $-3y = -6 - x$, tāpēc $y = \dfrac{-6 - x}{-3}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $2x + y = 2$ → $2x + \cdot y = 2$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 0$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 0$ atpakaļ 1. vienādojumā: $0 - 3y = -6$, tāpēc $-3y = -6$, $y = 2$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $1\cdot0 + (-3)\cdot2 = -6 = -6$ ✓. 2. vienādojums: $2\cdot0 + 1\cdot2 = 2 = 2$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.

6. uzdevums

Viena biezā burtnīca maksā $3$ EUR, viena plānā burtnīca — $2$ EUR. Kopā nopirktas $19$ burtnīcas par $47$ EUR. Cik biezo burtnīcu nopirkts?

A) $19$
B) $9$
C) $10$
D) $11$

Pareizā atbilde: B) $9$

Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — biezo burtnīcu skaits, $y$ — plāno burtnīcu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $19$ burtnīcas" $\Rightarrow$ $x + y = 19$
"Kopā samaksāts $47$ EUR" $\Rightarrow$ $3x + 2y = 47$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 19 - x$. Ievietojam otrajā:
$3x + 2(19 - x) = 47$
$3x + 38 - 2x = 47$
$x = 9$
$x = 9$

4. Otrs nezināmais. $y = 19 - 9 = 10$

5. Tipiskās kļūdas.
• $10$ — atrasts $y$, nevis $x$. Pēc atrisināšanas vienmēr pārlasi, kurš nezināmais bija prasīts.
• $11$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $19$ — atbildēts kopējais skaits.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$9 + 10 = 19$ ✓
$3 \cdot 9 + 2 \cdot 10 = 27 + 20 = 47$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.

7. uzdevums

Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 2x - y = -2 \\ x - 2y = -7 \end{cases}$

A) $x = 2; \, y = 3$
B) $x = 4; \, y = 1$
C) $x = 1; \, y = 4$
D) $x = -1; \, y = -4$

Pareizā atbilde: C) $x = 1; \, y = 4$

Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $2x - y = -2$: $-y = -2 - 2x$, tāpēc $y = \dfrac{-2 - 2x}{-1}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $x - 2y = -7$ → $x - 2\cdot y = -7$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 1$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 1$ atpakaļ 1. vienādojumā: $21 - y = -2$, tāpēc $-y = -4$, $y = 4$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $2\cdot1 + (-1)\cdot4 = -2 = -2$ ✓. 2. vienādojums: $1\cdot1 + (-2)\cdot4 = -7 = -7$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.

8. uzdevums

Viena lielā kaste maksā $5$ EUR, viena mazā kaste — $3$ EUR. Kopā nopirktas $13$ kastes par $59$ EUR. Cik lielo kastu nopirkts?

A) $8$
B) $10$
C) $12$
D) $13$

Pareizā atbilde: B) $10$

Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — lielo kastu skaits, $y$ — mazo kastu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $13$ kastes" $\Rightarrow$ $x + y = 13$
"Kopā samaksāts $59$ EUR" $\Rightarrow$ $5x + 3y = 59$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 13 - x$. Ievietojam otrajā:
$5x + 3(13 - x) = 59$
$5x + 39 - 3x = 59$
$2x = 20$
$x = 10$

4. Otrs nezināmais. $y = 13 - 10 = 3$

5. Tipiskās kļūdas.
• $8$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $13$ — atbildēts kopējais skaits.
• $12$ — visa nauda dalīta ar vienu cenu, it kā visas kastes būtu vienādas.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$10 + 3 = 13$ ✓
$5 \cdot 10 + 3 \cdot 3 = 50 + 9 = 59$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.

9. uzdevums

Atrisini vienādojumu sistēmu: $\begin{cases} 2x + y = 12 \\ -3x - 3y = -21 \end{cases}$

A) $x = 6; \, y = 1$
B) $x = -5; \, y = -2$
C) $x = 5; \, y = 2$
D) $x = 2; \, y = 5$

Pareizā atbilde: C) $x = 5; \, y = 2$

Atrisinājums:
1. Metode — aizvietošana vai saskaitīšana. Šeit izmantojam aizvietošanas metodi: izteicam vienu mainīgo no 1. vienādojuma un ievietojam 2. vienādojumā.

2. Izsaki $y$ no 1. vienādojuma. No $2x + y = 12$: $y = 12 - 2x$, tāpēc $y = \dfrac{12 - 2x}{1}$.

3. Ievieto otrajā vienādojumā. $-3x - 3y = -21$ → $-3x - 3\cdot y = -21$, kur $y$ vietā liekam izteikumu no 2. soļa.

4. Atrisini attiecībā uz $x$. Pēc pārveidojumiem iegūstam $x = 5$.

5. Atrod $y$. Ievieto $x = 5$ atpakaļ 1. vienādojumā: $25 + y = 12$, tāpēc $y = 2$, $y = 2$.

6. Pārbaude. 1. vienādojums: $2\cdot5 + 1\cdot2 = 12 = 12$ ✓. 2. vienādojums: $-3\cdot5 + (-3)\cdot2 = -21 = -21$ ✓.

7. Padoms. Sistēmas vienmēr pārbauda — ievieto atrastās vērtības abos vienādojumos. Ja vismaz viens nesakrīt — kļūda.

10. uzdevums

Viena biezā burtnīca maksā $4$ EUR, viena plānā burtnīca — $2$ EUR. Kopā nopirktas $18$ burtnīcas par $58$ EUR. Cik biezo burtnīcu nopirkts?

A) $9$
B) $7$
C) $11$
D) $15$

Pareizā atbilde: C) $11$

Atrisinājums:
1. Divi nezināmie — divi vienādojumi. Teksts dod DIVAS ziņas, tāpēc vajag divus vienādojumus.
$x$ — biezo burtnīcu skaits, $y$ — plāno burtnīcu skaits.

2. Pārtulko katru teikumu.
"Kopā $18$ burtnīcas" $\Rightarrow$ $x + y = 18$
"Kopā samaksāts $58$ EUR" $\Rightarrow$ $4x + 2y = 58$

3. Izsaki un ievieto. No pirmā: $y = 18 - x$. Ievietojam otrajā:
$4x + 2(18 - x) = 58$
$4x + 36 - 2x = 58$
$2x = 22$
$x = 11$

4. Otrs nezināmais. $y = 18 - 11 = 7$

5. Tipiskās kļūdas.
• $7$ — atrasts $y$, nevis $x$. Pēc atrisināšanas vienmēr pārlasi, kurš nezināmais bija prasīts.
• $9$ — aprēķina kļūda; pārbaudi ABOS vienādojumos.
• $15$ — visa nauda dalīta ar vienu cenu, it kā visas burtnīcas būtu vienādas.

6. Pārbaude ABOS vienādojumos.
$11 + 7 = 18$ ✓
$4 \cdot 11 + 2 \cdot 7 = 44 + 14 = 58$ ✓
Sistēmu vienmēr pārbauda abos — viens vienādojums var izpildīties arī nepareizai atbildei.

▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

9. klases citi uzdevumi

Līdzīgi trijstūri uzdevumi →Trapeces uzdevumi →Sin, cos, tan taisnleņķa trijstūrī uzdevumi →Izteiksmju sadalīšana reizinājumos uzdevumi →Kvadrātvienādojumi (diskriminants, Vjeta) uzdevumi →Skaitļu virknes (progresijas) uzdevumi →Riņķī ievilkti un apvilkti daudzstūri uzdevumi →Kvadrātfunkcija (parabola) uzdevumi →

📝 Šie uzdevumi ir 9. klases eksāmena programmā. Kas vēl būs 9. klases matemātikas eksāmenā →

👩‍🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →