4. Rādiuss = $d/2$. $R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.
5. Atmiņas paņēmiens. Kvadrātam: ievilktais rādiuss $= a/2$ (māsa pusei), apvilktais rādiuss $= a\sqrt{2}/2$ (puse diagonāles). Apvilktais vienmēr lielāks par ievilkto.
6. Bieža kļūda. Sajaukt ievilkto ($r = a/2$) ar apvilkto ($R = a\sqrt{2}/2$) — atceries: apvilkts iet caur virsotnēm (lielāks), ievilkts pieskaras malām (mazāks).
2. uzdevums
Vienādmalu trijstūrim ar malu $6$ cm aprēķini apvilktās riņķa līnijas rādiusu $R$ (cm).
A) $R = \dfrac{6\sqrt{3}}{6}$
B) $R = 6$
C) $R = \dfrac{6\sqrt{3}}{2}$
D) $R = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$
Pareizā atbilde: D) $R = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$
Atrisinājums: 1. Vienādmalu trijstūra augstums. Augstums no virsotnes uz pretējo malu: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2}$.
2. Centrs. Vienādmalu trijstūrim mediānu, augstumu, bisektrišu un vidusperpendikulu krustpunkts SAKRĪT — tas ir gan ievilktās, gan apvilktās riņķa līnijas centrs.
3. Sadalījums attiecībā 2:1. Mediānas (= augstumi) krustpunktā dalās attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes. Centrs sadala augstumu: $\frac{2}{3}$ no virsotnes uz centru, $\frac{1}{3}$ no centra uz malu.
4. Apvilktais rādiuss = 2/3 augstuma. $R = \dfrac{2}{3} h = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ cm.
6. Bieža kļūda. Lietot $h$ kā rādiusu — bet rādiuss ir tikai 2/3 no augstuma.
3. uzdevums
Vienādmalu trijstūrim ar malu $8$ cm aprēķini apvilktās riņķa līnijas rādiusu $R$ (cm).
A) $R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
B) $R = \dfrac{8\sqrt{3}}{6}$
C) $R = 8$
D) $R = \dfrac{8\sqrt{3}}{2}$
Pareizā atbilde: A) $R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
Atrisinājums: 1. Vienādmalu trijstūra augstums. Augstums no virsotnes uz pretējo malu: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{8\sqrt{3}}{2}$.
2. Centrs. Vienādmalu trijstūrim mediānu, augstumu, bisektrišu un vidusperpendikulu krustpunkts SAKRĪT — tas ir gan ievilktās, gan apvilktās riņķa līnijas centrs.
3. Sadalījums attiecībā 2:1. Mediānas (= augstumi) krustpunktā dalās attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes. Centrs sadala augstumu: $\frac{2}{3}$ no virsotnes uz centru, $\frac{1}{3}$ no centra uz malu.
4. Apvilktais rādiuss = 2/3 augstuma. $R = \dfrac{2}{3} h = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.
5. Bieža kļūda. Sajaukt ar diagonāli vai pašu malu. Atceries: rādiuss vienmēr ir puse diametra. Diametrs šeit ir mala (jo pieskaršanās punkti ir vidū malu).
7. uzdevums
Regulāram sešstūrim ar malu $2$ cm aprēķini apvilktās riņķa līnijas rādiusu $R$ (cm).
A) $R = 2\sqrt{3}$
B) $R = \dfrac{2\sqrt{3}}{2}$
C) $R = 2$
D) $R = \dfrac{2}{2}$
Pareizā atbilde: C) $R = 2$
Atrisinājums: 1. Sešstūra unikālā īpašība. Regulārs sešstūris sastāv no 6 vienādmalu trijstūriem ar virsotni centrā.
2. Tāpēc. Attālums no centra līdz jebkurai virsotnei = sešstūra mala $a$.
3. Apvilktais rādiuss = mala. $R = a = 2$ cm.
4. Atmiņas paņēmiens. Sešstūrim $R = a$ (apvilktais = mala) — vienīgais regulārais daudzstūris ar tik vienkāršu sakarību. Ievilktais $r = a\sqrt{3}/2$ (mazliet mazāks par malu).
5. Bieža kļūda. Lietot $a\sqrt{3}/2$ (tas ir ievilktais rādiuss = apotēma) vai $a\sqrt{3}$.
8. uzdevums
Regulāram sešstūrim ar malu $9$ cm aprēķini ievilktās riņķa līnijas rādiusu $r$ (cm).
A) $r = 9\sqrt{3}$
B) $r = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$
C) $r = \dfrac{9}{2}$
D) $r = 9$
Pareizā atbilde: B) $r = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$
Atrisinājums: 1. Sešstūra struktūra. Sešstūris = 6 vienādmalu trijstūri ar malu $a$ un virsotni centrā.
2. Ievilktais rādiuss = apotēma. Ievilktās riņķa līnijas rādiuss pieskaras katrai malai vidū — tā ir tā saucamā apotēma.
3. Aprēķins. Apotēma = augstums vienādmalu trijstūrim no centra uz malu: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$ cm.
5. Salīdzinājums. $r < R$ vienmēr, jo malas viduspunkts ir tuvāk centram nekā virsotne. Šeit: $\dfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7{,}79 < 9$ ✓.
9. uzdevums
Vienādmalu trijstūrim ar malu $9$ cm aprēķini apvilktās riņķa līnijas rādiusu $R$ (cm).
A) $R = 9$
B) $R = \dfrac{9\sqrt{3}}{3}$
C) $R = \dfrac{9\sqrt{3}}{6}$
D) $R = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$
Pareizā atbilde: B) $R = \dfrac{9\sqrt{3}}{3}$
Atrisinājums: 1. Vienādmalu trijstūra augstums. Augstums no virsotnes uz pretējo malu: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
2. Centrs. Vienādmalu trijstūrim mediānu, augstumu, bisektrišu un vidusperpendikulu krustpunkts SAKRĪT — tas ir gan ievilktās, gan apvilktās riņķa līnijas centrs.
3. Sadalījums attiecībā 2:1. Mediānas (= augstumi) krustpunktā dalās attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes. Centrs sadala augstumu: $\frac{2}{3}$ no virsotnes uz centru, $\frac{1}{3}$ no centra uz malu.
4. Apvilktais rādiuss = 2/3 augstuma. $R = \dfrac{2}{3} h = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{3}$ cm.
👩🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →