Kompleksie skaitļi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
$i$ pakāpes cikls (pa 4): $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$.
$2 \div 4$ atlikums $2$ → $i^{2} = -1$.

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē modulis? Komplekso skaitli $a + bi$ var attēlot kā punktu plaknē ar koordinātēm $(a;\ b)$. Modulis ir attālums no koordinātu sākuma līdz šim punktam.

2. Tātad tā ir Pitagora teorēma. $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

3. Rēķinām. $|z| = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

4. Kāpēc zīmes nav svarīgas? Abi skaitļi tiek kāpināti kvadrātā, tāpēc $-3 - 4i$ un $3 + 4i$ moduļi ir vienādi. Attālums nav atkarīgs no virziena.

5. Bieža kļūda. Saskaitīt $|a| + |b| = 7$. Tas būtu ceļš pa taisnstūra malām, ne pa diagonāli.

Atrisinājums:
$i$ pakāpes cikls (pa 4): $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$.
$11 \div 4$ atlikums $3$ → $i^{11} = -i$.

Atrisinājums:
1. Kas te notiek? Otrais reizinātājs ir pirmā saistītais skaitlis — tas pats, tikai ar pretēju imaginārās daļas zīmi.

2. Reizinām kā divas iekavas. $(a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2i^2$
Vidējie locekļi saīsinās — tieši tāpēc saistītais skaitlis ir noderīgs.

3. Atceries, ka $i^2 = -1$. Tāpēc $-b^2 i^2 = +b^2$, un rezultāts ir $a^2 + b^2$.

4. Rēķinām. $(-9)^2 + (-12)^2 = 81 + 144 = 225$

5. Kāpēc tas ir svarīgi. Rezultāts ir reāls skaitlis. Tieši tā atbrīvojas no $i$ saucējā, dalot ar kompleksu skaitli — paplašina daļu ar saistīto.

Atrisinājums:
Modulis: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$. (Imaginārās daļas zīme moduli neietekmē.)

Atrisinājums:
1. Kas te notiek? Otrais reizinātājs ir pirmā saistītais skaitlis — tas pats, tikai ar pretēju imaginārās daļas zīmi.

2. Reizinām kā divas iekavas. $(a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2i^2$
Vidējie locekļi saīsinās — tieši tāpēc saistītais skaitlis ir noderīgs.

3. Atceries, ka $i^2 = -1$. Tāpēc $-b^2 i^2 = +b^2$, un rezultāts ir $a^2 + b^2$.

4. Rēķinām. $(7)^2 + (-24)^2 = 49 + 576 = 625$

5. Kāpēc tas ir svarīgi. Rezultāts ir reāls skaitlis. Tieši tā atbrīvojas no $i$ saucējā, dalot ar kompleksu skaitli — paplašina daļu ar saistīto.

Atrisinājums:
Modulis: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$. (Imaginārās daļas zīme moduli neietekmē.)

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē modulis? Komplekso skaitli $a + bi$ var attēlot kā punktu plaknē ar koordinātēm $(a;\ b)$. Modulis ir attālums no koordinātu sākuma līdz šim punktam.

2. Tātad tā ir Pitagora teorēma. $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

3. Rēķinām. $|z| = \sqrt{(7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$

4. Kāpēc zīmes nav svarīgas? Abi skaitļi tiek kāpināti kvadrātā, tāpēc $7 - 24i$ un $7 + 24i$ moduļi ir vienādi. Attālums nav atkarīgs no virziena.

5. Bieža kļūda. Saskaitīt $|a| + |b| = 31$. Tas būtu ceļš pa taisnstūra malām, ne pa diagonāli.

Atrisinājums:
$i$ pakāpes cikls (pa 4): $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$.
$10 \div 4$ atlikums $2$ → $i^{10} = -1$.

Atrisinājums:
1. Kas te notiek? Otrais reizinātājs ir pirmā saistītais skaitlis — tas pats, tikai ar pretēju imaginārās daļas zīmi.

2. Reizinām kā divas iekavas. $(a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2i^2$
Vidējie locekļi saīsinās — tieši tāpēc saistītais skaitlis ir noderīgs.

3. Atceries, ka $i^2 = -1$. Tāpēc $-b^2 i^2 = +b^2$, un rezultāts ir $a^2 + b^2$.

4. Rēķinām. $(-9)^2 + (12)^2 = 81 + 144 = 225$

5. Kāpēc tas ir svarīgi. Rezultāts ir reāls skaitlis. Tieši tā atbrīvojas no $i$ saucējā, dalot ar kompleksu skaitli — paplašina daļu ar saistīto.