11. klaseTrigonometrija

Kosinusa teorēma — uzdevumi ar atrisinājumiem

10 uzdevumi ar pilniem soli-pa-solim atrisinājumiem. Aplikācijā pieejami neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Vispirms teorija? Izlasi Kosinusa teorēma — teorija, formulas un piemēri →
1. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 3$, $b = 10$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: A) $11{,}79$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 3$, $b = 10$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 3^2 + 10^2 - 2 \cdot 3 \cdot 10 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 9 + 100 - 2 \cdot 30 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 109 + 30$
$c^2 = 139$
$c = \sqrt{139} \approx 11{,}79$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $7$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $10{,}44$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $7 < c < 13$. Mūsu atbilde 11{,}79 der ✓
2. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 6$, $b = 9$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: D) $7{,}94$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 6$, $b = 9$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 36 + 81 - 2 \cdot 54 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 117 - 54$
$c^2 = 63$
$c = \sqrt{63} \approx 7{,}94$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $15$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $3$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $10{,}82$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $3 < c < 15$. Mūsu atbilde 7{,}94 der ✓
3. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 8$, $b = 9$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: B) $8{,}54$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 8$, $b = 9$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 64 + 81 - 2 \cdot 72 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 145 - 72$
$c^2 = 73$
$c = \sqrt{73} \approx 8{,}54$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $17$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $12{,}04$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 17$. Mūsu atbilde 8{,}54 der ✓
4. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 5$, $b = 5$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: A) $8{,}66$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 5$, $b = 5$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 25 + 25 - 2 \cdot 25 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 50 + 25$
$c^2 = 75$
$c = \sqrt{75} \approx 8{,}66$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $10$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $0$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $7{,}07$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $0 < c < 10$. Mūsu atbilde 8{,}66 der ✓
5. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 4$, $b = 9$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: A) $11{,}53$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 4$, $b = 9$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 36 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 97 + 36$
$c^2 = 133$
$c = \sqrt{133} \approx 11{,}53$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $5$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $9{,}85$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $5 < c < 13$. Mūsu atbilde 11{,}53 der ✓
6. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 8$, $b = 7$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: C) $7{,}55$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 8$, $b = 7$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 8^2 + 7^2 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 64 + 49 - 2 \cdot 56 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 113 - 56$
$c^2 = 57$
$c = \sqrt{57} \approx 7{,}55$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $15$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $10{,}63$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 15$. Mūsu atbilde 7{,}55 der ✓
7. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 4$, $b = 8$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: C) $6{,}93$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 4$, $b = 8$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 16 + 64 - 2 \cdot 32 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 80 - 32$
$c^2 = 48$
$c = \sqrt{48} \approx 6{,}93$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $4$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $8{,}94$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $4 < c < 12$. Mūsu atbilde 6{,}93 der ✓
8. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 7$, $b = 8$, leņķis starp tām $\angle C = 120°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: A) $13$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 7$, $b = 8$, leņķis starp tām $C = 120°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120°$
$c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot -\frac{1}{2}$
$c^2 = 113 + 56$
$c^2 = 169$
$c = \sqrt{169} \approx 13$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $15$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $10{,}63$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 15$. Mūsu atbilde 13 der ✓
9. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 8$, $b = 5$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: C) $7$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 8$, $b = 5$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 64 + 25 - 2 \cdot 40 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 89 - 40$
$c^2 = 49$
$c = \sqrt{49} \approx 7$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $13$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $3$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $9{,}43$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $3 < c < 13$. Mūsu atbilde 7 der ✓
10. uzdevums
Trijstūrī malas $a = 3$, $b = 4$, leņķis starp tām $\angle C = 60°$. Atrast malu $c$.
Pareizā atbilde: B) $3{,}61$
Atrisinājums:
1. Kosinusa teorēma. Pitagora teorēmas vispārinājums jebkuram trijstūrim:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, kur $C$ ir leņķis STARP malām $a$ un $b$.

2. Speciālgadījumi.
$\cos 90° = 0$ → kosinusa teorēma reducējas uz Pitagoru: $c^2 = a^2 + b^2$.
$\cos 60° = \frac{1}{2}$ → atvilkt $ab$.
$\cos 120° = -\frac{1}{2}$ → pievienot $ab$ (mīnus mīnus = plus).

3. Atzīmē, kas dots. Malas $a = 3$, $b = 4$, leņķis starp tām $C = 60°$. Meklē malu $c$ (pretī leņķim $C$).

4. Aprēķini.
$c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60°$
$c^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 25 - 12$
$c^2 = 13$
$c = \sqrt{13} \approx 3{,}61$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $7$ — skolēns SASKAITĪJIS malas ($a + b$), aizmirstot, ka tas būtu maksimums (deģenerēts trijstūris ar leņķi 180°). Trīsstūra nevienādība: vienmēr $c < a + b$.
• $1$ — skolēns ATŅĒMIS malas ($|a - b|$), kas dotu minimumu (leņķis 0°). Šis būtu pareizs tikai pilnīgi izstieptam trijstūrim — mūsējais nav.
• $5{,}00$ — skolēns lietojis tīru PITAGORU ($\sqrt{a^2 + b^2}$), aizmirstot kosinusa locekli. Tas būtu pareizs tikai $C = 90°$ gadījumā, ne mūsējam.

6. Saprātīguma pārbaude. Ar trijstūra nevienādību: $|a - b| < c < a + b$, t.i., $1 < c < 7$. Mūsu atbilde 3{,}61 der ✓
▶ Trenēties ar neierobežotiem uzdevumiem — atvērt MatemPro

11. klases citi uzdevumi

Eksponenciāli vienādojumi uzdevumi →Logaritmi uzdevumi →Aritmētiskā progresija uzdevumi →Ģeometriskā progresija uzdevumi →Saliktās funkcijas f(g(x)) uzdevumi →Piramīda uzdevumi →Konuss uzdevumi →Cilindrs uzdevumi →

👩‍🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →