Pareizā atbilde: D) Pieņemam $P(k)$ un pierādām $P(k+1)$
Atrisinājums: Pieņemam, ka apgalvojums patiess pie $k$, un pierādām pie $k+1$.
2. uzdevums
Ar indukciju pierāda, ka $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ visiem naturāliem $n$.<br>Cik liela ir šī summa, kad $n = 7$?
A) $133$
B) $280$
C) $147$
D) $140$
Pareizā atbilde: D) $140$
Atrisinājums: 1. Ko īsti jautā? Formula apgalvo, ka kvadrātu summa līdz $n$ ir $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Pārbaudīt to pie konkrēta $n$ nozīmē ievietot skaitli.
3. Pārbaude ar saskaitīšanu. Var arī vienkārši saskaitīt locekļus — sanāks tas pats $140$. Tieši tā darbojas indukcijas bāze: pārliecināties, ka pie sākuma vērtības formula tiešām strādā.
4. Kāpēc ar to nepietiek? Pārbaude pie viena $n$ nepierāda neko par pārējiem. Tāpēc vajag arī induktīvo pāreju: ja formula der pie $k$, tad tā der arī pie $k+1$.
3. uzdevums
Ko pārbauda indukcijas BĀZĒ?
A) Ka sākuma gadījums $P(1)$ ir patiess
B) Visus $n$ pēc kārtas
C) Ka formula ir nepāra
D) Ka $P(k+1)$ patiess
Pareizā atbilde: A) Ka sākuma gadījums $P(1)$ ir patiess
Atrisinājums: Bāzē pārbauda sākuma gadījumu, parasti $P(1)$.
4. uzdevums
Ar indukciju pierāda, ka $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ visiem naturāliem $n$.<br>Cik liela ir šī summa, kad $n = 5$?
A) $16$
B) $26$
C) $62$
D) $31$
Pareizā atbilde: D) $31$
Atrisinājums: 1. Ko īsti jautā? Formula apgalvo, ka divnieka pakāpju summa līdz $n$ ir $2^n - 1$. Pārbaudīt to pie konkrēta $n$ nozīmē ievietot skaitli.
2. Ievietojam $n = 5$. $2^5 - 1 = 31$
3. Pārbaude ar saskaitīšanu. Var arī vienkārši saskaitīt locekļus — sanāks tas pats $31$. Tieši tā darbojas indukcijas bāze: pārliecināties, ka pie sākuma vērtības formula tiešām strādā.
4. Kāpēc ar to nepietiek? Pārbaude pie viena $n$ nepierāda neko par pārējiem. Tāpēc vajag arī induktīvo pāreju: ja formula der pie $k$, tad tā der arī pie $k+1$.
5. uzdevums
Ar indukciju pierāda, ka $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ visiem naturāliem $n$.<br>Cik liela ir šī summa, kad $n = 7$?
A) $336$
B) $84$
C) $168$
D) $240$
Pareizā atbilde: C) $168$
Atrisinājums: 1. Ko īsti jautā? Formula apgalvo, ka reizinājumu summa līdz $n$ ir $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Pārbaudīt to pie konkrēta $n$ nozīmē ievietot skaitli.
3. Pārbaude ar saskaitīšanu. Var arī vienkārši saskaitīt locekļus — sanāks tas pats $168$. Tieši tā darbojas indukcijas bāze: pārliecināties, ka pie sākuma vērtības formula tiešām strādā.
4. Kāpēc ar to nepietiek? Pārbaude pie viena $n$ nepierāda neko par pārējiem. Tāpēc vajag arī induktīvo pāreju: ja formula der pie $k$, tad tā der arī pie $k+1$.
6. uzdevums
Ar indukciju pierāda, ka $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ visiem naturāliem $n$.<br>Cik liela ir šī summa, kad $n = 4$?
A) $10$
B) $14$
C) $15$
D) $6$
Pareizā atbilde: A) $10$
Atrisinājums: 1. Ko īsti jautā? Formula apgalvo, ka naturālo skaitļu summa līdz $n$ ir $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Pārbaudīt to pie konkrēta $n$ nozīmē ievietot skaitli.
2. Ievietojam $n = 4$. $\dfrac{4(4+1)}{2} = 10$
3. Pārbaude ar saskaitīšanu. Var arī vienkārši saskaitīt locekļus — sanāks tas pats $10$. Tieši tā darbojas indukcijas bāze: pārliecināties, ka pie sākuma vērtības formula tiešām strādā.
4. Kāpēc ar to nepietiek? Pārbaude pie viena $n$ nepierāda neko par pārējiem. Tāpēc vajag arī induktīvo pāreju: ja formula der pie $k$, tad tā der arī pie $k+1$.
7. uzdevums
Vai formulas pārbaude pie $n=1,2,3$ ir pilnīgs pierādījums?
A) Nē — vajag induktīvo pāreju visiem $n$
B) Jā
C) Jā, ja der 3 gadījumi
D) Tikai pāra $n$
Pareizā atbilde: A) Nē — vajag induktīvo pāreju visiem $n$
Atrisinājums: Dažu gadījumu pārbaude nav pierādījums — vajag vispārīgo pāreju $P(k)\Rightarrow P(k+1)$.
8. uzdevums
Ar indukciju pierāda, ka $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ visiem naturāliem $n$.<br>Cik liela ir šī summa, kad $n = 4$?
A) $40$
B) $36$
C) $70$
D) $44$
Pareizā atbilde: A) $40$
Atrisinājums: 1. Ko īsti jautā? Formula apgalvo, ka reizinājumu summa līdz $n$ ir $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$. Pārbaudīt to pie konkrēta $n$ nozīmē ievietot skaitli.
3. Pārbaude ar saskaitīšanu. Var arī vienkārši saskaitīt locekļus — sanāks tas pats $40$. Tieši tā darbojas indukcijas bāze: pārliecināties, ka pie sākuma vērtības formula tiešām strādā.
4. Kāpēc ar to nepietiek? Pārbaude pie viena $n$ nepierāda neko par pārējiem. Tāpēc vajag arī induktīvo pāreju: ja formula der pie $k$, tad tā der arī pie $k+1$.
9. uzdevums
Cik soļi ir matemātiskās indukcijas pierādījumā?
A) Divi: bāze un induktīvā pāreja
B) Viens
C) Trīs
D) Atkarīgs no $n$
Pareizā atbilde: A) Divi: bāze un induktīvā pāreja
Atrisinājums: Bāze ($P(1)$ patiess) un induktīvā pāreja ($P(k) \Rightarrow P(k+1)$).
10. uzdevums
Ar indukciju pierāda, ka $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ visiem naturāliem $n$.<br>Cik liela ir šī summa, kad $n = 2$?
A) $4$
B) $1$
C) $8$
D) $6$
Pareizā atbilde: A) $4$
Atrisinājums: 1. Ko īsti jautā? Formula apgalvo, ka nepāra skaitļu summa līdz $n$ ir $n^2$. Pārbaudīt to pie konkrēta $n$ nozīmē ievietot skaitli.
2. Ievietojam $n = 2$. $2^2 = 4$
3. Pārbaude ar saskaitīšanu. Var arī vienkārši saskaitīt locekļus — sanāks tas pats $4$. Tieši tā darbojas indukcijas bāze: pārliecināties, ka pie sākuma vērtības formula tiešām strādā.
4. Kāpēc ar to nepietiek? Pārbaude pie viena $n$ nepierāda neko par pārējiem. Tāpēc vajag arī induktīvo pāreju: ja formula der pie $k$, tad tā der arī pie $k+1$.
👩🏫 Esat matemātikas skolotājs? Izveidojiet klasi divās minūtēs — skolēni pievienojas ar 6 zīmju kodu, bez e-pastiem un bez kontiem. Redzēsiet, kur klase klibina, un varēsiet uzdot mājasdarbus. Bez maksas: matempro.lv/skolotajiem →