Pamatvērtības (sin, cos, tan) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\cos 0° = 1$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — atbilst $\cos$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\cos$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $0$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\sin 0°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 0° + \cos^2 0° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. No kurienes nāk pārveidojums? Pilns aplis ir $360°$ un vienlaikus $2\pi$ radiāni. Tātad $180° = \pi$.

2. Reizinātājs. No grādiem uz radiāniem reizina ar $\dfrac{\pi}{180°}$.

3. Rēķinām. $0° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = 0$

4. Kā pārbaudīt bez rēķināšanas. $90°$ ir ceturtā daļa no apļa, tāpēc $\dfrac{\pi}{2}$. $0°$ ir $\dfrac{0}{180}$ daļa no $\pi$ — saīsinot sanāk tieši $0$.

5. Bieža kļūda. Reizināt ar $\dfrac{180°}{\pi}$ — tas ir pretējais virziens, no radiāniem uz grādiem.

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $1$ — atbilst $\cos$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\cos$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\sin 45°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 45° + \cos^2 45° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. No kurienes nāk pārveidojums? Pilns aplis ir $360°$ un vienlaikus $2\pi$ radiāni. Tātad $180° = \pi$.

2. Reizinātājs. No grādiem uz radiāniem reizina ar $\dfrac{\pi}{180°}$.

3. Rēķinām. $45° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{\pi}{4}$

4. Kā pārbaudīt bez rēķināšanas. $90°$ ir ceturtā daļa no apļa, tāpēc $\dfrac{\pi}{2}$. $45°$ ir $\dfrac{45}{180}$ daļa no $\pi$ — saīsinot sanāk tieši $\dfrac{\pi}{4}$.

5. Bieža kļūda. Reizināt ar $\dfrac{180°}{\pi}$ — tas ir pretējais virziens, no radiāniem uz grādiem.

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\cos 60° = \frac{1}{2}$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $1$ — atbilst $\cos$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\cos$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\sin 60°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 60° + \cos^2 60° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. Kas ir šis leņķis? $\dfrac{5\pi}{6} = 150°$ (jo $\pi = 180°$).

2. Vienības riņķis. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta;\ \sin\theta)$. Tātad kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā.

3. Otrais kvadrants. $150°$ atrodas pa kreisi no vertikālās ass, tāpēc horizontālā koordināte ir negatīva: $\cos \dfrac{5\pi}{6} < 0$. Vertikālā paliek pozitīva: $\sin \dfrac{5\pi}{6} > 0$.
Vērtību lielums ir tāds pats kā leņķim $30°$ — tas ir tā sauktais atsauces leņķis.

4. Atbilde. $\cos \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

5. Bieža kļūda. Ārpus pirmā kvadranta pazaudēt zīmi. Vispirms nosaki kvadrantu, tikai tad meklē vērtību.

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $0$ — atbilst $\sin$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{1}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\sin$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\cos 45°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 45° + \cos^2 45° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. No kurienes nāk pārveidojums? Pilns aplis ir $360°$ un vienlaikus $2\pi$ radiāni. Tātad $180° = \pi$.

2. Reizinātājs. No grādiem uz radiāniem reizina ar $\dfrac{\pi}{180°}$.

3. Rēķinām. $150° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{5\pi}{6}$

4. Kā pārbaudīt bez rēķināšanas. $90°$ ir ceturtā daļa no apļa, tāpēc $\dfrac{\pi}{2}$. $150°$ ir $\dfrac{150}{180}$ daļa no $\pi$ — saīsinot sanāk tieši $\dfrac{5\pi}{6}$.

5. Bieža kļūda. Reizināt ar $\dfrac{180°}{\pi}$ — tas ir pretējais virziens, no radiāniem uz grādiem.

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $1$ — atbilst $\cos$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\cos$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $\frac{1}{2}$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\sin 30°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. Kas ir šis leņķis? $0 = 0°$ (jo $\pi = 180°$).

2. Vienības riņķis. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta;\ \sin\theta)$. Tātad kosinuss ir horizontālā koordināte, sinuss — vertikālā.

3. Pirmais kvadrants. Abas koordinātes ir pozitīvas, tāpēc arī sinuss un kosinuss ir pozitīvi.

4. Atbilde. $\sin 0 = 0$

5. Bieža kļūda. Ārpus pirmā kvadranta pazaudēt zīmi. Vispirms nosaki kvadrantu, tikai tad meklē vērtību.