Iracionālie vienādojumi — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{x + 9}\right)^2 = 6^2$ → $x + 9 = 36$

3. Izsakām $x$. $x = 36 - 9 = 27$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{10 - x}\right)^2 = 9^2$ → $10 - x = 81$

3. Izsakām $x$. $x = 10 - 81 = -71$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{10 - (-71)} = \sqrt{81} = 9$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Vispirms paskaties uz labo pusi. Tur ir $-7$ — negatīvs skaitlis.

2. Kvadrātsakne nekad nav negatīva. Pieraksts $\sqrt{\ }$ nozīmē aritmētisko kvadrātsakni, un tā pēc definīcijas ir $\geq 0$. Tāpēc kreisā puse nekad nevar būt vienāda ar negatīvu skaitli.

3. Secinājums. Vienādojumam nav atrisinājuma. To var pateikt uzreiz, neko nerēķinot.

4. Kāpēc kāpināšana kvadrātā te maldina. Ja tomēr kāpinātu: $x + 10 = 49$, $x = 39$. Bet pārbaudot: $\sqrt{39 + 10} = \sqrt{49} = 7$, nevis $-7$. Tā ir svešā sakne — kāpināšana kvadrātā zaudē zīmi un var radīt atrisinājumus, kuru sākotnējā vienādojumā nav.

5. Tāpēc iracionālos vienādojumos pārbaude nav ieteikums, bet daļa no risinājuma.

Atrisinājums:
1. Vispirms paskaties uz labo pusi. Tur ir $-7$ — negatīvs skaitlis.

2. Kvadrātsakne nekad nav negatīva. Pieraksts $\sqrt{\ }$ nozīmē aritmētisko kvadrātsakni, un tā pēc definīcijas ir $\geq 0$. Tāpēc kreisā puse nekad nevar būt vienāda ar negatīvu skaitli.

3. Secinājums. Vienādojumam nav atrisinājuma. To var pateikt uzreiz, neko nerēķinot.

4. Kāpēc kāpināšana kvadrātā te maldina. Ja tomēr kāpinātu: $x + 12 = 49$, $x = 37$. Bet pārbaudot: $\sqrt{37 + 12} = \sqrt{49} = 7$, nevis $-7$. Tā ir svešā sakne — kāpināšana kvadrātā zaudē zīmi un var radīt atrisinājumus, kuru sākotnējā vienādojumā nav.

5. Tāpēc iracionālos vienādojumos pārbaude nav ieteikums, bet daļa no risinājuma.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{1 - x}\right)^2 = 3^2$ → $1 - x = 9$

3. Izsakām $x$. $x = 1 - 9 = -8$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{9} = 3$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{x + 4}\right)^2 = 5^2$ → $x + 4 = 25$

3. Izsakām $x$. $x = 25 - 4 = 21$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{21 + 4} = \sqrt{25} = 5$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{5 - x}\right)^2 = 2^2$ → $5 - x = 4$

3. Izsakām $x$. $x = 5 - 4 = 1$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{5 - (1)} = \sqrt{4} = 2$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{7 - x}\right)^2 = 9^2$ → $7 - x = 81$

3. Izsakām $x$. $x = 7 - 81 = -74$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{7 - (-74)} = \sqrt{81} = 9$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{x + 3}\right)^2 = 6^2$ → $x + 3 = 36$

3. Izsakām $x$. $x = 36 - 3 = 33$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{33 + 3} = \sqrt{36} = 6$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{8 - x}\right)^2 = 7^2$ → $8 - x = 49$

3. Izsakām $x$. $x = 8 - 49 = -41$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{8 - (-41)} = \sqrt{49} = 7$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.