Nevienādības (lin., kvadr., daļveida) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Nulles. Skaitītājs ir nulle pie $x = -6$, saucējs — pie $x = -2$. Punktā $x = -2$ daļa nav definēta, tāpēc tas NEKAD nepieder atrisinājumam.

2. Zīmju metode. Uz skaitļu ass atzīmējam $-6$ un $-2$; daļas zīme mainās pie katra no tiem.

3. Atbilde. Daļa ir POZITĪVA ārpus nullēm: $(-\infty; -6) \cup (-2; +\infty)$.

4. Biežākā kļūda. Reizināt abas puses ar saucēju. To darīt nedrīkst — saucēja zīme nav zināma, un, reizinot ar negatīvu, nevienādības zīme mainītos.

Atrisinājums:
1. Nulles. Skaitītājs ir nulle pie $x = -1$, saucējs — pie $x = 5$. Punktā $x = 5$ daļa nav definēta, tāpēc tas NEKAD nepieder atrisinājumam.

2. Zīmju metode. Uz skaitļu ass atzīmējam $-1$ un $5$; daļas zīme mainās pie katra no tiem.

3. Atbilde. Daļa ir NEGATĪVA starp nullēm: $(-1; 5)$.

4. Biežākā kļūda. Reizināt abas puses ar saucēju. To darīt nedrīkst — saucēja zīme nav zināma, un, reizinot ar negatīvu, nevienādības zīme mainītos.

Atrisinājums:
1. Atrodam saknes. Vienādojuma saknes ir $x_1 = 5$ un $x_2 = 9$.

2. Kur parabola ir zem/virs ass. Koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs, tāpēc zari vērsti augšup. Izteiksme ir negatīva STARP saknēm.

3. Atbilde. Atrisinājums ir $(5; 9)$, tātad kreisais gals ir $5$.

4. Biežākā kļūda. Automātiski pieņemt, ka "$<$ nozīmē starp saknēm". Tā ir tiesa TIKAI tad, ja koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs — pretējā gadījumā viss apgriežas.

Atrisinājums:
1. Galvenā doma. Reāla skaitļa kvadrāts NEKAD nav negatīvs: $x^2 \geq 0$.

2. Šim uzdevumam. $x^2 + 3$ ir vismaz $3$, tāpēc negatīvs tas nekad nav.

3. Biežākā kļūda. Mēģināt atrast saknes ar diskriminantu tur, kur to nav — vispirms paskaties, vai izteiksme vispār var mainīt zīmi.

Atrisinājums:
1. Saknes. $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

2. Zaru virziens. Koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs — zari vērsti augšup.

3. Kur izteiksme ir vajadzīgajā zīmē. STARP saknēm — tāpēc atbilde ir $[3; 9]$.

4. Gali. Nevienādība NAV stingra, tāpēc saknes ietilpst — kvadrātiekavas.

5. Biežākā kļūda. Iegaumēt "$<$ = starp saknēm" kā likumu. Tas der tikai pie pozitīva koeficienta pie $x^2$.

Atrisinājums:
1. Abas puses kā vienas bāzes pakāpes. $0{,}5 = 0{,}5^{1}$, tāpēc nevienādība ir $0{,}5^x > 0{,}5^{1}$.

2. Bāzes izšķirošā loma. Bāze $0{,}5 < 1$, tāpēc funkcija DILST un nevienādības zīme APGRIEŽAS.

3. Atbilde. $x < 1$.

4. Biežākā kļūda. Apgriezt zīmi automātiski vai neapgriezt vispār. Vienīgais kritērijs ir tas, vai bāze ir lielāka vai mazāka par $1$.

Atrisinājums:
1. Kāpēc te NEPIETIEK ar vienu sakni. Kvadrātā kāpināšana "aizmirst" zīmi: gan $9^2$, gan $(-9)^2$ ir $81$. Tāpēc jāapskata ABI zari.

2. Pārbaudām ar konkrētiem skaitļiem.
$x = 10$: $100 > 81$ — der.
$x = -10$: $100 > 81$ — der arī!

3. Atbilde. $x < -9$ vai $x > 9$ — divi intervāli, ne viens.

4. Biežākā kļūda. No $x^2 > 81$ secināt $x > 9$, aizmirstot negatīvos $x$. Vienmēr pārbaudi ar kādu negatīvu skaitli.

Atrisinājums:
1. Kāpēc te NEPIETIEK ar vienu sakni. Kvadrātā kāpināšana "aizmirst" zīmi: gan $2^2$, gan $(-2)^2$ ir $4$. Tāpēc jāapskata ABI zari.

2. Pārbaudām ar konkrētiem skaitļiem.
$x = 3$: $9 < 4$ — neder.
$x = -3$: $9 < 4$ — neder.

3. Atbilde. $-2 < x < 2$ — viss starp saknēm.

4. Biežākā kļūda. No $x^2 < 4$ secināt $x < 2$, aizmirstot negatīvos $x$. Vienmēr pārbaudi ar kādu negatīvu skaitli.

Atrisinājums:
1. Atrodam saknes. Vienādojuma saknes ir $x_1 = -6$ un $x_2 = -3$.

2. Kur parabola ir zem/virs ass. Koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs, tāpēc zari vērsti augšup. Izteiksme ir negatīva STARP saknēm.

3. Atbilde. Atrisinājums ir $(-6; -3)$, tātad kreisais gals ir $-6$.

4. Biežākā kļūda. Automātiski pieņemt, ka "$<$ nozīmē starp saknēm". Tā ir tiesa TIKAI tad, ja koeficients pie $x^2$ ir pozitīvs — pretējā gadījumā viss apgriežas.

Atrisinājums:
1. Abas puses kā vienas bāzes pakāpes. $0{,}0010000000000000002 = 0{,}1^{3}$, tāpēc nevienādība ir $0{,}1^x > 0{,}1^{3}$.

2. Bāzes izšķirošā loma. Bāze $0{,}1 < 1$, tāpēc funkcija DILST un nevienādības zīme APGRIEŽAS.

3. Atbilde. $x < 3$.

4. Biežākā kļūda. Apgriezt zīmi automātiski vai neapgriezt vispār. Vienīgais kritērijs ir tas, vai bāze ir lielāka vai mazāka par $1$.