Kvadrātvienādojumi (Vjeta) — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 3x + 2 = 0$, tāpēc $p = -3$, $q = 2$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $3$ un reizinājumā $2$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $2$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 2 = 2$ (summa $3$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ ✓
$x = 2$:   $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -2$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-2) = -3$, kas neatbilst saknes summai $3$.
• $x_1 = 2, x_2 = 3$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $5$ un reizinājums $6$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($3$ un $2$).
• $x_1 = 1, x_2 = 4$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{3 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Formula. $D = b^2 - 4ac$

2. Nolasām koeficientus. $a = 2$, $b = -12$, $c = 16$. Zīme ietilpst koeficientā — ja vienādojumā ir $- 12x$, tad $b = -12$.

3. Ievietojam. $D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (16) = 144 - (128) = 16$

4. Ko tas nozīmē? $D > 0$ → divas dažādas reālas saknes.

5. Bieža kļūda. Pazaudēt mīnusu: $-4ac$, kur $c$ pats ir negatīvs, dod plusu. Divi mīnusi dod plusu arī te.

Atrisinājums:
1. Vjeta formulas pilnā formā. Vienādojumam $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$    un    $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

2. Kur pazūd $a$? Skolā vispirms māca gadījumu $a = 1$, kur summa ir vienkārši $-b$. Bet tas ir īpašgadījums — dalīšana ar $a$ tur vienkārši neko nemaina. Šeit $a = 4$, tāpēc dalīt ir obligāti.

3. Ievietojam. $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-20}{4} = -5$

4. Pārbaude. Šī vienādojuma saknes ir $x_1 = 1$ un $x_2 = -5$. Tiešām: $1 + (-5) = -4$ un $1 \cdot (-5) = -5$.

5. Bieža kļūda. Atbildēt $-20$ — tas ir $c$ bez dalīšanas ar $a$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 10x + 21 = 0$, tāpēc $p = -10$, $q = 21$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $10$ un reizinājumā $21$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $21$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 21 = 21$ (summa $22$),
$3 \cdot 7 = 21$ (summa $10$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 3$:   $3^2 - 10 \cdot 3 + 21 = 9 - 30 + 21 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 10 \cdot 7 + 21 = 49 - 70 + 21 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -3, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-3) + (-7) = -10$, kas neatbilst saknes summai $10$.
• $x_1 = 4, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $12$ un reizinājums $32$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($10$ un $21$).
• $x_1 = 3, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 10^2 - 4 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$. $\sqrt{D} = 4$. $x = \dfrac{10 \pm 4}{2}$.

Atrisinājums:
1. Formula. $D = b^2 - 4ac$

2. Nolasām koeficientus. $a = 2$, $b = 4$, $c = -16$. Zīme ietilpst koeficientā — ja vienādojumā ir $+ 4x$, tad $b = 4$.

3. Ievietojam. $D = (4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-16) = 16 - (-128) = 144$

4. Ko tas nozīmē? $D > 0$ → divas dažādas reālas saknes.

5. Bieža kļūda. Pazaudēt mīnusu: $-4ac$, kur $c$ pats ir negatīvs, dod plusu. Divi mīnusi dod plusu arī te.

Atrisinājums:
1. Vjeta formulas pilnā formā. Vienādojumam $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$    un    $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

2. Kur pazūd $a$? Skolā vispirms māca gadījumu $a = 1$, kur summa ir vienkārši $-b$. Bet tas ir īpašgadījums — dalīšana ar $a$ tur vienkārši neko nemaina. Šeit $a = 2$, tāpēc dalīt ir obligāti.

3. Ievietojam. $x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{2} = 0$

4. Pārbaude. Šī vienādojuma saknes ir $x_1 = 5$ un $x_2 = -5$. Tiešām: $5 + (-5) = 0$ un $5 \cdot (-5) = -25$.

5. Bieža kļūda. Atbildēt $0$ — tas ir $-b$ bez dalīšanas ar $a$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 6x + 8 = 0$, tāpēc $p = -6$, $q = 8$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $6$ un reizinājumā $8$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $8$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 8 = 8$ (summa $9$),
$2 \cdot 4 = 8$ (summa $6$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 2$:   $2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$ ✓
$x = 4$:   $4^2 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -2, x_2 = -4$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-2) + (-4) = -6$, kas neatbilst saknes summai $6$.
• $x_1 = 3, x_2 = 5$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $8$ un reizinājums $15$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($6$ un $8$).
• $x_1 = 2, x_2 = 6$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 6^2 - 4 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. $\sqrt{D} = 2$. $x = \dfrac{6 \pm 2}{2}$.

Atrisinājums:
1. Formula. $D = b^2 - 4ac$

2. Nolasām koeficientus. $a = 2$, $b = -4$, $c = -16$. Zīme ietilpst koeficientā — ja vienādojumā ir $- 4x$, tad $b = -4$.

3. Ievietojam. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-16) = 16 - (-128) = 144$

4. Ko tas nozīmē? $D > 0$ → divas dažādas reālas saknes.

5. Bieža kļūda. Pazaudēt mīnusu: $-4ac$, kur $c$ pats ir negatīvs, dod plusu. Divi mīnusi dod plusu arī te.

Atrisinājums:
1. Vjeta formulas pilnā formā. Vienādojumam $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$    un    $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

2. Kur pazūd $a$? Skolā vispirms māca gadījumu $a = 1$, kur summa ir vienkārši $-b$. Bet tas ir īpašgadījums — dalīšana ar $a$ tur vienkārši neko nemaina. Šeit $a = 3$, tāpēc dalīt ir obligāti.

3. Ievietojam. $x_1 + x_2 = -\dfrac{-12}{3} = 4$

4. Pārbaude. Šī vienādojuma saknes ir $x_1 = 6$ un $x_2 = -2$. Tiešām: $6 + (-2) = 4$ un $6 \cdot (-2) = -12$.

5. Bieža kļūda. Atbildēt $12$ — tas ir $-b$ bez dalīšanas ar $a$.

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 13x + 42 = 0$, tāpēc $p = -13$, $q = 42$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $13$ un reizinājumā $42$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $42$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 42 = 42$ (summa $43$),
$2 \cdot 21 = 42$ (summa $23$),
$3 \cdot 14 = 42$ (summa $17$),
$6 \cdot 7 = 42$ (summa $13$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 6$, $x_2 = 7$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 6$:   $6^2 - 13 \cdot 6 + 42 = 36 - 78 + 42 = 0$ ✓
$x = 7$:   $7^2 - 13 \cdot 7 + 42 = 49 - 91 + 42 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -6, x_2 = -7$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-6) + (-7) = -13$, kas neatbilst saknes summai $13$.
• $x_1 = 7, x_2 = 8$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $15$ un reizinājums $56$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($13$ un $42$).
• $x_1 = 6, x_2 = 9$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 13x + 42 = (x - 6)(x - 7)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 13^2 - 4 \cdot 42 = 169 - 168 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{13 \pm 1}{2}$.