Kombinācijas un faktoriāli — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 6$, $k = 2$.
Skaitītājs: $6 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$
Saucējs: $2! = 1 \cdot 2 = 2$
$C_6^2 = \dfrac{30}{2} = 15$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2$ — atbildēts izvēlamo elementu skaits.
• $16$ — aprēķina kļūda; $C_{6}^{2} = 15$.
• $30$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{6}^{2}$, kur secībai ir nozīme.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($30$), kas ir $2!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $2!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $10$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $6$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 8$, $k = 4$.
Skaitītājs: $8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$
Saucējs: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$C_8^4 = \dfrac{1680}{24} = 70$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8$ — atbildēts kopējais elementu skaits.
• $1680$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{8}^{4}$, kur secībai ir nozīme.
• $71$ — aprēķina kļūda; $C_{8}^{4} = 70$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($1680$), kas ir $4!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $4!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $36$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $21$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $120$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 11$, $k = 4$.
Skaitītājs: $11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 7920$
Saucējs: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$C_11^4 = \dfrac{7920}{24} = 330$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $7920$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{11}^{4}$, kur secībai ir nozīme.
• $331$ — aprēķina kļūda; $C_{11}^{4} = 330$.
• $660$ — aprēķina kļūda; $C_{11}^{4} = 330$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($7920$), kas ir $4!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $4!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $25$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $15$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $24$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 10$, $k = 2$.
Skaitītājs: $10 \cdot 9 = 10 \cdot 9 = 90$
Saucējs: $2! = 1 \cdot 2 = 2$
$C_10^2 = \dfrac{90}{2} = 45$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2$ — atbildēts izvēlamo elementu skaits.
• $23$ — aprēķina kļūda; $C_{10}^{2} = 45$.
• $90$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{10}^{2}$, kur secībai ir nozīme.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($90$), kas ir $2!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $2!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Definīcija. $n!$ (lasi: "n faktoriāls") ir visu pozitīvu veselo skaitļu no $1$ līdz $n$ reizinājums:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$

2. Speciālgadījums. $0! = 1$ (pēc definīcijas — nav neviena skaitļa, ko reizināt; atbild "tukšs reizinājums" = 1).

3. Kāpēc tas svarīgi? $n!$ skaita, cik veidos var sakārtot $n$ atšķirīgus elementus secībā. Piemēram, 3 skolēni rindā: $3! = 6$ veidi.

4. Aprēķini. $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $9$ — skolēns kāpinājis $n$ kvadrātā ($n^2$), sajaucot faktoriālu ar pakāpi. Faktoriāls ir REIZINĀJUMS visiem skaitļiem līdz $n$, ne kvadrāts.
• $6$ — skolēns lietojis aritmētiskās progresijas summas formulu ($\frac{n(n+1)}{2}$), aizmirstot, ka faktoriālā skaitļi REIZINĀJAS, nevis saskaitās.
• $2$ — skolēns aprēķinājis $(n-1)!$ vietā $n!$, aizmirstot pēdējo reizinātāju.

6. Atmiņas palīgs. Faktoriāls aug ļoti strauji: $1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040$.

7. Sakarība ar kombinācijām. $n!$ parādās arī formulās $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ un $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 7$, $k = 2$.
Skaitītājs: $7 \cdot 6 = 7 \cdot 6 = 42$
Saucējs: $2! = 1 \cdot 2 = 2$
$C_7^2 = \dfrac{42}{2} = 21$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $2$ — atbildēts izvēlamo elementu skaits.
• $42$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{7}^{2}$, kur secībai ir nozīme.
• $22$ — aprēķina kļūda; $C_{7}^{2} = 21$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($42$), kas ir $2!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $2!$ veidu sakārtot tos secībā).

Atrisinājums:
1. Atšķirības starp variācijām un kombinācijām.
• Variācijas ($A_n^k$) — secībai IR nozīme. Piem., 1. vieta, 2. vieta sacensībās.
• Kombinācijas ($C_n^k$) — secībai NAV nozīmes. Piem., komanda no skolēniem.

2. Šajā uzdevumā secība nav svarīga. Komanda {Anna, Bērzs, Cīrule} = {Cīrule, Anna, Bērzs} — viena un tā pati komanda. Tāpēc lietojam kombinācijas.

3. Formula. $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$

4. Mūsu vērtības. $n = 7$, $k = 4$.
Skaitītājs: $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$
Saucējs: $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
$C_7^4 = \dfrac{840}{24} = 35$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $36$ — aprēķina kļūda; $C_{7}^{4} = 35$.
• $840$ — aizmirsts dalīt ar $k!$; tas ir VARIĀCIJU skaits $A_{7}^{4}$, kur secībai ir nozīme.
• $70$ — aprēķina kļūda; $C_{7}^{4} = 35$.

6. Bieža kļūda. Aizmirst dalīt ar $k!$ — tādējādi iegūst variāciju skaitu ($840$), kas ir $4!$ reizes lielāks par kombināciju skaitu (jo katrai komandai ir $4!$ veidu sakārtot tos secībā).