Pitagora teorēma uzdevumos — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Divsoļu uzdevums. Lai aprēķinātu laukumu, vajag ABAS katetes. Mums dota tikai viena. Vajag atrast otru ar Pitagora teorēmu.

2. Solis 1: atrod otru kateti.
$\text{otra}^2 = c^2 - \text{zināmā}^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$.
$\text{otra} = \sqrt{81} = 9$ cm.

3. Solis 2: aprēķini laukumu. Taisnleņķa trijstūrī katetes IR pamats un augstums.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \dfrac{108}{2} = 54$ cm².

4. Atpazīšana paātrina. Šis ir $9$-$12$-$15$ Pitagora trijnieks. Pazīstot to, otra katete $= 9$ ir uzreiz redzama bez aprēķiniem.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $18$ cm² — otra katete ATŅEMTA ($15 - 12 = 3$), nevis atrasta ar Pitagora teorēmu. Malas saista KVADRĀTI: $\sqrt{15^2 - 12^2} = 9$, ne $3$.
• $27$ cm² — dalīts ar $2$ divreiz.
• $108$ cm² — aizmirsts dalīt ar $2$. Trijstūra laukums ir PUSE no katešu reizinājuma.

6. Bieža kļūda. Aprēķināt laukumu kā $\dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15$ — bet tas nav pareizi, jo hipotenūza un katete NAV perpendikulāras. Tikai katetes ir pamats un augstums.

Atrisinājums:
1. Divsoļu uzdevums — Pitagora + perimetrs. Mums dota hipotenūza un viena katete. Lai aprēķinātu perimetru, vajag visas trīs malas.

2. Solis 1: atrod otru kateti ar Pitagora.
$\text{otra}^2 = c^2 - \text{zināmā}^2 = 5^2 - 3^2 = 16$
$\text{otra} = \sqrt{16} = 4$ cm.

3. Solis 2: saskaiti visas malas.
$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$ cm.

4. Atpazīšana. Šis ir $3$-$4$-$5$ Pitagora trijnieks. Atminoties to, otra katete $= 4$ acumirklī.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8$ cm — aizmirsta otra katete; saskaitīts tikai $c +$ zināmā katete. Perimetram vajag VISAS trīs malas.
• $17$ cm — hipotenūza ieskaitīta divreiz.
• $14$ cm — aprēķina kļūda; $P = 3 + 4 + 5$.

6. Atšķirība no laukuma. Perimetrs (cm) — visu malu garumu summa. Laukums (cm²) — virsmas mērs (puse no katešu reizinājuma).

Atrisinājums:
1. Taisnstūra diagonāle dala to divos taisnleņķa trijstūros. Diagonāle ir hipotenūza taisnleņķa trijstūrim ar katetēm $a$ un $b$ (taisnstūra malām).

2. Pielieto Pitagora teorēmu. $d^2 = a^2 + b^2$, tāpēc $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

3. Aprēķini.
$d^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$d = \sqrt{169} = 13$ cm.

4. Atpazīšana. Taisnstūra malas $5$, $12$ → diagonāle daļa no $5$-$12$-$13$ Pitagora trijnieka.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $7$ cm — malas ATŅEMTAS. Tas dod skaitli, kas nav saistīts ar Pitagora teorēmu.
• $11$ cm — aprēķina vai noapaļošanas kļūda; $\sqrt{169} = 13$.
• $12$ cm — paņemta garākā mala. Diagonāle vienmēr ir GARĀKA par jebkuru malu.

6. Vispārinājums uz 3D. Taisnstūra prizmas (vai kuba) telpiskā diagonāle ir vēl viens solis — divreiz pielietota Pitagora teorēma.

Atrisinājums:
1. Telpiskā diagonāle prasa Pitagoru divreiz. Vispirms atrast taisnstūra (pamatnes) diagonāli, tad to lietot kā kateti vēl vienā taisnleņķa trijstūrī ar augstumu $c$.

2. Solis 1: pamatnes diagonāle.
$\text{pamatne}^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 5$
$\text{pamatne} = \sqrt{5}$ cm.

3. Solis 2: telpiskā diagonāle. Pamatnes diagonāle un sānu šķautne $c$ veido vēl vienu taisnleņķa trijstūri (ar telpisko diagonāli kā hipotenūzu):
$d^2 = \text{pamatne}^2 + c^2 = 5 + 2^2 = 9$
$d = \sqrt{9} = 3$ cm.

4. Vispārinātā formula. $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ — tas ir tieši kā Pitagora 3D versija.

5. Speciālais kuba gadījums. Ja $a = b = c$, tad $d = a\sqrt{3}$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $8$ cm — aprēķina kļūda; $d = \sqrt{1 + 4 + 4}$.
• $5$ cm — saskaitītas visas trīs šķautnes. Tas ir ceļš PA šķautnēm; telpiskā diagonāle ir tiešā līnija, vienmēr īsāka.
• $4$ cm — aprēķina kļūda; $d = \sqrt{1 + 4 + 4}$.

7. Pārbaude saprātīgumam. Telpiskā diagonāle ir LIELĀKĀ no jebkuras vērtības prizmā. Mūsu atbilde $3 > \max(1, 2, 2) = 2$ ✓

Atrisinājums:
1. Divsoļu uzdevums. Lai aprēķinātu laukumu, vajag ABAS katetes. Mums dota tikai viena. Vajag atrast otru ar Pitagora teorēmu.

2. Solis 1: atrod otru kateti.
$\text{otra}^2 = c^2 - \text{zināmā}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$.
$\text{otra} = \sqrt{36} = 6$ cm.

3. Solis 2: aprēķini laukumu. Taisnleņķa trijstūrī katetes IR pamats un augstums.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \dfrac{48}{2} = 24$ cm².

4. Atpazīšana paātrina. Šis ir $6$-$8$-$10$ Pitagora trijnieks. Pazīstot to, otra katete $= 6$ ir uzreiz redzama bez aprēķiniem.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12$ cm² — dalīts ar $2$ divreiz.
• $8$ cm² — otra katete ATŅEMTA ($10 - 8 = 2$), nevis atrasta ar Pitagora teorēmu. Malas saista KVADRĀTI: $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$, ne $2$.
• $48$ cm² — aizmirsts dalīt ar $2$. Trijstūra laukums ir PUSE no katešu reizinājuma.

6. Bieža kļūda. Aprēķināt laukumu kā $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10$ — bet tas nav pareizi, jo hipotenūza un katete NAV perpendikulāras. Tikai katetes ir pamats un augstums.

Atrisinājums:
1. Divsoļu uzdevums — Pitagora + perimetrs. Mums dota hipotenūza un viena katete. Lai aprēķinātu perimetru, vajag visas trīs malas.

2. Solis 1: atrod otru kateti ar Pitagora.
$\text{otra}^2 = c^2 - \text{zināmā}^2 = 15^2 - 12^2 = 81$
$\text{otra} = \sqrt{81} = 9$ cm.

3. Solis 2: saskaiti visas malas.
$P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36$ cm.

4. Atpazīšana. Šis ir $9$-$12$-$15$ Pitagora trijnieks. Atminoties to, otra katete $= 9$ acumirklī.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $51$ cm — hipotenūza ieskaitīta divreiz.
• $54$ cm — aprēķināts LAUKUMS, ne perimetrs. Pārbaudi mērvienības: laukums ir cm², perimetrs — cm.
• $38$ cm — aprēķina kļūda; $P = 9 + 12 + 15$.

6. Atšķirība no laukuma. Perimetrs (cm) — visu malu garumu summa. Laukums (cm²) — virsmas mērs (puse no katešu reizinājuma).

Atrisinājums:
1. Taisnstūra diagonāle dala to divos taisnleņķa trijstūros. Diagonāle ir hipotenūza taisnleņķa trijstūrim ar katetēm $a$ un $b$ (taisnstūra malām).

2. Pielieto Pitagora teorēmu. $d^2 = a^2 + b^2$, tāpēc $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

3. Aprēķini.
$d^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
$d = \sqrt{25} = 5$ cm.

4. Atpazīšana. Taisnstūra malas $3$, $4$ → diagonāle daļa no $3$-$4$-$5$ Pitagora trijnieka.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12$ cm — malas SAREIZINĀTAS; tas ir laukums, ne garums. Pārbaudi mērvienības: cm · cm = cm², ne cm.
• $8$ cm — aprēķina vai noapaļošanas kļūda; $\sqrt{25} = 5$.
• $6$ cm — aprēķina vai noapaļošanas kļūda; $\sqrt{25} = 5$.

6. Vispārinājums uz 3D. Taisnstūra prizmas (vai kuba) telpiskā diagonāle ir vēl viens solis — divreiz pielietota Pitagora teorēma.

Atrisinājums:
1. Telpiskā diagonāle prasa Pitagoru divreiz. Vispirms atrast taisnstūra (pamatnes) diagonāli, tad to lietot kā kateti vēl vienā taisnleņķa trijstūrī ar augstumu $c$.

2. Solis 1: pamatnes diagonāle.
$\text{pamatne}^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25$
$\text{pamatne} = \sqrt{25}$ cm.

3. Solis 2: telpiskā diagonāle. Pamatnes diagonāle un sānu šķautne $c$ veido vēl vienu taisnleņķa trijstūri (ar telpisko diagonāli kā hipotenūzu):
$d^2 = \text{pamatne}^2 + c^2 = 25 + 12^2 = 169$
$d = \sqrt{169} = 13$ cm.

4. Vispārinātā formula. $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ — tas ir tieši kā Pitagora 3D versija.

5. Speciālais kuba gadījums. Ja $a = b = c$, tad $d = a\sqrt{3}$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $15$ cm — aprēķina kļūda; $d = \sqrt{9 + 16 + 144}$.
• $19$ cm — saskaitītas visas trīs šķautnes. Tas ir ceļš PA šķautnēm; telpiskā diagonāle ir tiešā līnija, vienmēr īsāka.
• $18$ cm — aprēķina kļūda; $d = \sqrt{9 + 16 + 144}$.

7. Pārbaude saprātīgumam. Telpiskā diagonāle ir LIELĀKĀ no jebkuras vērtības prizmā. Mūsu atbilde $13 > \max(3, 4, 12) = 12$ ✓

Atrisinājums:
1. Divsoļu uzdevums. Lai aprēķinātu laukumu, vajag ABAS katetes. Mums dota tikai viena. Vajag atrast otru ar Pitagora teorēmu.

2. Solis 1: atrod otru kateti.
$\text{otra}^2 = c^2 - \text{zināmā}^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.
$\text{otra} = \sqrt{25} = 5$ cm.

3. Solis 2: aprēķini laukumu. Taisnleņķa trijstūrī katetes IR pamats un augstums.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \dfrac{60}{2} = 30$ cm².

4. Atpazīšana paātrina. Šis ir $5$-$12$-$13$ Pitagora trijnieks. Pazīstot to, otra katete $= 5$ ir uzreiz redzama bez aprēķiniem.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $15$ cm² — dalīts ar $2$ divreiz.
• $6$ cm² — otra katete ATŅEMTA ($13 - 12 = 1$), nevis atrasta ar Pitagora teorēmu. Malas saista KVADRĀTI: $\sqrt{13^2 - 12^2} = 5$, ne $1$.
• $29$ cm² — aprēķina kļūda; $S = \dfrac{5 \cdot 12}{2} = 30$.

6. Bieža kļūda. Aprēķināt laukumu kā $\dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13$ — bet tas nav pareizi, jo hipotenūza un katete NAV perpendikulāras. Tikai katetes ir pamats un augstums.

Atrisinājums:
1. Divsoļu uzdevums — Pitagora + perimetrs. Mums dota hipotenūza un viena katete. Lai aprēķinātu perimetru, vajag visas trīs malas.

2. Solis 1: atrod otru kateti ar Pitagora.
$\text{otra}^2 = c^2 - \text{zināmā}^2 = 5^2 - 4^2 = 9$
$\text{otra} = \sqrt{9} = 3$ cm.

3. Solis 2: saskaiti visas malas.
$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$ cm.

4. Atpazīšana. Šis ir $3$-$4$-$5$ Pitagora trijnieks. Atminoties to, otra katete $= 3$ acumirklī.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $17$ cm — hipotenūza ieskaitīta divreiz.
• $14$ cm — aprēķina kļūda; $P = 3 + 4 + 5$.
• $24$ cm — aprēķina kļūda; $P = 3 + 4 + 5$.

6. Atšķirība no laukuma. Perimetrs (cm) — visu malu garumu summa. Laukums (cm²) — virsmas mērs (puse no katešu reizinājuma).