Redukcijas un summas formulas — uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Katru locekli reducē atsevišķi. Redukcijas likums ir divos soļos: vai nosaukums mainās (leņķis skaitīts no vertikālās ass $90^\circ$ vai $270^\circ$ — mainās; no horizontālās $180^\circ$ vai $360^\circ$ — paliek) un kāda ir zīme (tāda, kāda SĀKOTNĒJAI funkcijai ir tajā kvadrantā, kur nonāk leņķis).

2. Šim uzdevumam. $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ un $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Summa: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ (pamatidentitāte).

3. Biežākā kļūda. Pazaudēt mīnusu vienā no locekļiem — tad summa vai reizinājums iznāk pilnīgi cits. Pārbaudi katra locekļa zīmi atsevišķi, pirms tos savieno.

Atrisinājums:
1. Sadalām leņķi divos, kurus zinām no galvas. $165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ — $45^\circ$ vērtības ir tabulā, bet $120^\circ$ tajā nav, tāpēc to vispirms reducē: $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ un $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$.

2. Argumentu formula. $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

3. Ievietojam pamatvērtības. $\cos 165^\circ = \left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{4} - \dfrac{\sqrt{6}}{4} = -\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

4. Biežākā kļūda. Rakstīt $\cos 120^\circ + \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}$, tas ir „atvērt iekavas". Šāda vienādība ir aplama: pretpiemērs $\alpha = \beta = 60^\circ$ dod $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, bet $\cos 60^\circ + \cos 60^\circ = 1$. Otrs slazds — zīme: sinusam tā sakrīt ar argumenta zīmi, kosinusam ir pretēja.

Atrisinājums:
1. Atrodam trūkstošās vērtības. No pamatidentitātes $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (tā pati sakarība der arī $\beta$): $\cos\alpha = \pm\dfrac{8}{17}$ un $\sin\beta = \pm\dfrac{3}{5}$.

2. Zīmes nosaka kvadranti. Leņķis $\alpha$ ir otrajā kvadrantā, un tur kosinuss ir negatīvs, tāpēc $\cos\alpha = -\dfrac{8}{17}$. Leņķis $\beta$ ir ceturtajā kvadrantā, un tur sinuss ir negatīvs, tāpēc $\sin\beta = -\dfrac{3}{5}$.

3. Ievietojam argumentu formulā. $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha - \beta) = \left(-\dfrac{8}{17}\right) \cdot \dfrac{4}{5} + \dfrac{15}{17} \cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{77}{85}$

4. Biežākā kļūda. Ignorēt kvadrantu un paņemt trūkstošo vērtību ar plusa zīmi — tad rezultāts ir pavisam cits skaitlis. Otra kļūda: rakstīt $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$; pretpiemērs $\alpha = \beta = 45^\circ$ to atspēko uzreiz.

Atrisinājums:
1. Vai nosaukums mainās? Leņķis skaitīts no vertikālās ($270^\circ$) ass, tāpēc funkcijas nosaukums MAINĀS: $\sin \leftrightarrow \cos$.

2. Kāda ir zīme? Ja $\alpha$ ir šaurs leņķis, tad $270^\circ + \alpha$ atrodas IV kvadrantā. Tur $\sin$ ir negatīvs, tāpēc zīme ir mīnus.

3. Rezultāts. $\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$.

4. Biežākā kļūda. Aizmirst zīmi vai mainīt nosaukumu tur, kur to nevajag. Nosaukums mainās TIKAI pie $90^\circ$ un $270^\circ$ (radiānos $\dfrac{\pi}{2}$ un $\dfrac{3\pi}{2}$).

Atrisinājums:
1. Sadalām leņķi divos, kurus zinām no galvas. $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ — abiem pamatvērtības ir tabulā.

2. Argumentu formula. $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

3. Ievietojam pamatvērtības. $\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

4. Biežākā kļūda. Rakstīt $\cos 45^\circ - \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2}$, tas ir „atvērt iekavas". Šāda vienādība ir aplama: pretpiemērs $\alpha = \beta = 60^\circ$ dod $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, bet $\cos 60^\circ + \cos 60^\circ = 1$. Otrs slazds — zīme: sinusam tā sakrīt ar argumenta zīmi, kosinusam ir pretēja.

Atrisinājums:
1. Atrodam trūkstošās vērtības. No pamatidentitātes $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (tā pati sakarība der arī $\beta$): $\cos\alpha = \pm\dfrac{3}{5}$ un $\sin\beta = \pm\dfrac{15}{17}$.

2. Zīmes nosaka kvadranti. Leņķis $\alpha$ ir otrajā kvadrantā, un tur kosinuss ir negatīvs, tāpēc $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$. Leņķis $\beta$ ir ceturtajā kvadrantā, un tur sinuss ir negatīvs, tāpēc $\sin\beta = -\dfrac{15}{17}$.

3. Ievietojam argumentu formulā. $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha - \beta) = \left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{8}{17} + \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{15}{17}\right) = -\dfrac{84}{85}$

4. Biežākā kļūda. Ignorēt kvadrantu un paņemt trūkstošo vērtību ar plusa zīmi — tad rezultāts ir pavisam cits skaitlis. Otra kļūda: rakstīt $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$; pretpiemērs $\alpha = \beta = 45^\circ$ to atspēko uzreiz.

Atrisinājums:
1. Vai nosaukums mainās? Leņķis skaitīts no horizontālās ($360^\circ$) ass, tāpēc funkcijas nosaukums PALIEK tas pats.

2. Kāda ir zīme? Ja $\alpha$ ir šaurs leņķis, tad $2\pi - \alpha$ atrodas IV kvadrantā. Tur $\sin$ ir negatīvs, tāpēc zīme ir mīnus.

3. Rezultāts. $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$.

4. Biežākā kļūda. Aizmirst zīmi vai mainīt nosaukumu tur, kur to nevajag. Nosaukums mainās TIKAI pie $90^\circ$ un $270^\circ$ (radiānos $\dfrac{\pi}{2}$ un $\dfrac{3\pi}{2}$).

Atrisinājums:
1. Sadalām leņķi divos, kurus zinām no galvas. $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ — abiem pamatvērtības ir tabulā.

2. Argumentu formula. $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

3. Ievietojam pamatvērtības. $\cos 105^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} - \dfrac{\sqrt{6}}{4} = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

4. Biežākā kļūda. Rakstīt $\cos 60^\circ + \cos 45^\circ = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}$, tas ir „atvērt iekavas". Šāda vienādība ir aplama: pretpiemērs $\alpha = \beta = 60^\circ$ dod $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, bet $\cos 60^\circ + \cos 60^\circ = 1$. Otrs slazds — zīme: sinusam tā sakrīt ar argumenta zīmi, kosinusam ir pretēja.

Atrisinājums:
1. Atrodam trūkstošās vērtības. No pamatidentitātes $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (tā pati sakarība der arī $\beta$): $\cos\alpha = \pm\dfrac{15}{17}$ un $\sin\beta = \pm\dfrac{12}{13}$.

2. Zīmes nosaka kvadranti. Leņķis $\alpha$ ir otrajā kvadrantā, un tur kosinuss ir negatīvs, tāpēc $\cos\alpha = -\dfrac{15}{17}$. Leņķis $\beta$ ir ceturtajā kvadrantā, un tur sinuss ir negatīvs, tāpēc $\sin\beta = -\dfrac{12}{13}$.

3. Ievietojam argumentu formulā. $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha - \beta) = \left(-\dfrac{15}{17}\right) \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{8}{17} \cdot \left(-\dfrac{12}{13}\right) = -\dfrac{171}{221}$

4. Biežākā kļūda. Ignorēt kvadrantu un paņemt trūkstošo vērtību ar plusa zīmi — tad rezultāts ir pavisam cits skaitlis. Otra kļūda: rakstīt $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$; pretpiemērs $\alpha = \beta = 45^\circ$ to atspēko uzreiz.

Atrisinājums:
1. Vai nosaukums mainās? Leņķis skaitīts no vertikālās ($90^\circ$) ass, tāpēc funkcijas nosaukums MAINĀS: $\sin \leftrightarrow \cos$.

2. Kāda ir zīme? Ja $\alpha$ ir šaurs leņķis, tad $90^\circ - \alpha$ atrodas I kvadrantā. Tur $\cos$ ir pozitīvs, tāpēc zīme ir pluss.

3. Rezultāts. $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

4. Biežākā kļūda. Aizmirst zīmi vai mainīt nosaukumu tur, kur to nevajag. Nosaukums mainās TIKAI pie $90^\circ$ un $270^\circ$ (radiānos $\dfrac{\pi}{2}$ un $\dfrac{3\pi}{2}$).