9. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Līdzīgu trijstūru īpašība. Līdzīgiem trijstūriem atbilstošās malas ir proporcionālas — visu atbilstošo malu attiecība ir viena un tā pati (līdzības koeficients $k$).

2. Atrodam koeficientu. Atbilstošās malas $5$ cm un $10$ cm dod $k = \dfrac{10}{5} = 2$.

3. Meklējam malu. Mazākā trijstūra malai $9$ cm atbilstošā lielākā mala ir $9 \cdot 2 = 18$ cm.

4. Biežākās kļūdas.
• $14$ — pieskaitīta starpība $10 - 5$, nevis reizināts ar koeficientu (līdzība ir REIZINĀŠANA, ne saskaitīšana).
• $19$ — pieskaitīta zināmā lielā mala $10$ cm.
• $27$ — līdzības koeficients noteikts par $1$ par lielu.

Atrisinājums:
1. Trapeces laukuma formula. $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$, kur $a$ un $b$ ir paralēlās malas (pamati), $h$ — augstums (attālums starp tām).

2. Ievietojam vērtības. $S = \dfrac{11 + 13}{2} \cdot 8 = \dfrac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8$.

3. Atbilde. $S = 96$ cm².

4. Biežākās kļūdas.
• $192$ — aizmirsts dalīt ar $2$; sanāk divreiz par lielu.
• $88$ — reizināta tikai viena mala ar augstumu.
• $32$ — malas un augstums saskaitīti, nevis izmantota formula.

Atrisinājums:
1. Vienības riņķis. Visas trigonometriskās pamatvērtības iegūstam no riņķa ar rādiusu $1$. Punktam uz riņķa ar leņķi $\theta$ koordinātes ir $(\cos\theta, \sin\theta)$.

2. Pamatleņķu tabula. Iegaumē šos 5 leņķus:

$\theta$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

3. Mūsu uzdevums. $\sin 90° = 1$.

4. Distraktoru analīze. Visi nepareizie varianti ir CITU pamatleņķu vērtības tai pašai funkcijai:
• $0$ — atbilst $\sin$ citā leņķī. Skolēns sajaucis tabulas rindas vai izlasījis pretējo virzienu.
• $\frac{1}{2}$ — vēl viena pamatleņķa $\sin$ vērtība. Tipiska kļūda: skolēns atminējies, ka tabulā tāda vērtība parādās, bet sajaucis, kuram leņķim.
• $0$ — šī ir TĀ PAŠA leņķa pretējās funkcijas vērtība ($\cos 90°$). Sajaucis $\sin$ ar $\cos$.

5. Pārbaude. $\sin^2 90° + \cos^2 90° = 1$. Tā nav nejauša īpašība — tas izriet no Pitagora taisnleņķa trijstūrim ar hipotenūzu $1$.

6. Atmiņas palīgs. Skaitītāji ir kvadrātsaknes $\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}$, dalītas ar 2. cos iet apgrieztā secībā nekā sin.

Atrisinājums:
1. Atpazīsti formulu. Šī ir kvadrātu starpība: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Identificē $a$ un $b$.
$25x^2 = (5x)^2 \Rightarrow a = 5x$
$36 = 6^2 \Rightarrow b = 6$

3. Lieto formulu. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, tāpēc $25x^2 - 36 = (5x - 6)(5x + 6)$.

4. Pārbaude (atver iekavas). $(5x - 6)(5x + 6) = 25x^2 + 30x - 30x - 36 = 25x^2 - 36$ ✓.

5. Bieža kļūda. Sajaukt ar pilna kvadrāta formulu: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — bet šeit nav vidējā $-2ab$ termina, tāpēc tā NAV pilns kvadrāts.

6. Atmiņas paņēmiens. "Mīnus starp diviem kvadrātiem" → vienmēr ir kvadrātu starpība, divas iekavas ar pretējām zīmēm.

Atrisinājums:
1. Identificē koeficientus. Vispārīgā forma ir $ax^2 + bx + c = 0$. Šeit $a = 1$, $b = -7$, $c = 10$.

2. Aprēķini diskriminantu. $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

3. Diskriminants pozitīvs → divas dažādas reālas saknes.

4. Lieto sakņu formulu.
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{7 \pm 3}{2}$

$x_1 = \dfrac{4}{2} = 2$, $x_2 = \dfrac{10}{2} = 5$.

5. Pārbaude ar Vjeta teorēmu. $x_1 + x_2 = 7 = -b/a = 7$ ✓. $x_1 \cdot x_2 = 10 = c/a = 10$ ✓.

6. Bieža kļūda. Aizmirst mīnus zīmi formulā $-b$ — atceries, ka $b$ vērtība jāņem ar pretēju zīmi. Šeit $b = -7$, tāpēc $-b = 7$.