12. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

17 tēmas, 170 atrisināti piemēri. Katrs uzdevums ar pilnu soli-pa-solim skaidrojumu. Aplikācijā — neierobežoti jauni uzdevumi ar automātisku pārbaudi.

Ko mācās 12. klasē

12. klases matemātikas kursā (Skola2030 programma) ietilpst šādas tēmas: varbūtību sadalījumi un sagaidāmā vērtība, pilnās varbūtības formula, normālais sadalījums (gausa līkne), ņūtona binoms un paskāla trijstūris, robežas, atvasinājumi, integrāļi, apgrieztās trig. funkcijas, bezgalīgas progresijas, inversās funkcijas, polinomi, matemātiskā indukcija, kompleksie skaitļi, skaitīšanas sistēmas, dalāmība un kongruences, vienādojumi ar parametru, nenoteikto koeficientu metode.

Katrai tēmai zemāk ir atsevišķa lapa ar atrisinātiem uzdevumiem un saite uz teoriju. Uzdevumi nav fiksēts saraksts — MatemPro tos ģenerē no jauna, tāpēc vari trenēties, cik nepieciešams, līdz metode ir skaidra.

Paraugi ar atrisinājumiem

1. piemērs · Varbūtību sadalījumi un sagaidāmā vērtība

Gadījuma lielumam $X$ ir sadalījums: $P(X{=}0)=0{,}1$, $P(X{=}1)=0{,}2$, $P(X{=}2)=0{,}4$, $P(X{=}3)=0{,}3$. Aprēķini sagaidāmo vērtību $E(X)$.

A) $1{,}9$
B) $2{,}2$
C) $2{,}9$
D) $1{,}2$

Pareizā atbilde: A) $1{,}9$

Atrisinājums:
Sagaidāmā vērtība. $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$.

$= 0\cdot0{,}1 + 1\cdot0{,}2 + 2\cdot0{,}4 + 3\cdot0{,}3 = 1{,}9$.

2. piemērs · Pilnās varbūtības formula

Divi scenāriji: $P(H_1)=0{,}2$, $P(A|H_1)=0{,}9$; $P(H_2)=0{,}8$, $P(A|H_2)=0{,}8$. Cik ir $P(A)$?

A) $0{,}64$
B) $0{,}82$
C) $0{,}88$
D) $0{,}18$

Pareizā atbilde: B) $0{,}82$

Atrisinājums:
Pilnās varbūtības formula: $P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)$.

$P(A) = 0{,}2 \cdot 0{,}9 + 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}82$.

3. piemērs · Normālais sadalījums (Gausa līkne)

Normāli sadalītam lielumam $\mu = 100$, $\sigma = 10$. Cik procentu vērtību atrodas intervālā no $90$ līdz $110$?

A) $68\%$
B) $34\%$
C) $99{,}7\%$
D) $95\%$

Pareizā atbilde: A) $68\%$

Atrisinājums:
Empīriskais likums (68–95–99,7). Intervālā $\mu \pm 1\sigma$ atrodas aptuveni $68\%$ vērtību.

$90 = \mu - \sigma$ un $110 = \mu + \sigma$, tātad tas ir $\mu \pm 1\sigma \approx 68\%$.

4. piemērs · Ņūtona binoms un Paskāla trijstūris

Cik saskaitāmo (locekļu) ir izteiksmes $(a+b)^{5}$ izvirzījumā pēc Ņūtona binoma?

A) $10$
B) $6$
C) $7$
D) $8$

Pareizā atbilde: B) $6$

Atrisinājums:
Likums. $(a+b)^n$ izvirzījumā ir $n+1$ saskaitāmo (no $a^n$ līdz $b^n$).

Šeit $n = 5$, tātad $5+1 = 6$ locekļi.

5. piemērs · Robežas

Aprēķini robežu: $\lim_{x \to 3}(4x^2 + x + 4)$

A) $45$
B) $43$
C) $86$
D) $44$

Pareizā atbilde: B) $43$

Atrisinājums:
1. Polinomi ir nepārtrauktas funkcijas. Tas nozīmē, ka funkcijas vērtība jebkurā punktā $x_0$ ir vienkārši $f(x_0)$ — ne nekas vairāk.

2. Tāpēc robežas aprēķins ir vienkāršs. $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$ — tieši ievieto $x_0$ funkcijā.

3. Mūsu uzdevums. $\lim_{x \to 3}(4x^2 + x + 4)$.

4. Ievieto $x = 3$.
$4 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3 + 4$
$= 36 + 3 + 4$
$= 43$.

5. Kad NEDRĪKST tieši ievietot? Ja iznāk $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ vai cita nenoteiktība — tad jāizmanto sadalīšana reizinātājos, L'Hôpital, vai cita metode. Polinomam tas nevar notikt.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $86$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $43$.
• $44$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $43$.
• $45$ — aritmētiska kļūda; ievietojot $x = 3$, iznāk $43$.

7. Atmiņas palīgs. Polinoms = "labi uzvedīgs" — vienmēr nepārtraukts. Daļa polinomu — var būt nenoteiktība, kad saucējs = 0.