10. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Mērķis. Izolēt $x$ vienā vienādojuma pusē — pēc tam tas atklāj atrisinājumu.

2. Pirmais solis: pārvietot konstanti. Lai $4x$ paliktu viens kreisajā pusē, atņemam $-9$ no abām pusēm:
$4x - 9 = -5$
$4x = -5 + 9$
$4x = 4$

3. Otrais solis: dalīt ar koeficientu. Lai $x$ paliktu viens, dalām abas puses ar $4$:
$x = \dfrac{4}{4} = 1$

4. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $x = -3{,}5$ — skolēns NEMAINĪJA zīmi, pārvietojot $-9$ uz otru pusi, un saskaitīja $-5 + 9$ tā vietā, lai atņemtu (vai otrādi). Pareizi: pārvietojot, zīme MAINĀS.
• $x = 4$ — skolēns apstājies pēc pirmā soļa ($4x = 4$) un aizmirsis dalīt ar koeficientu $4$.
• $x = -5$ — skolēns ignorējis gan konstanti, gan koeficientu un ievadījis labās puses skaitli.
• $x = -1{,}25$ — skolēns dalījis $-5$ ar $4$, neatņemot vispirms konstanti $-9$.

5. Pārbaude. Ievietojam $x = 1$ oriģinālajā vienādojumā:
$4 \cdot (1) - 9 = 4 - 9 = -5$ ✓

Atrisinājums:
1. Vjeta teorēma. Vienādojumam $x^2 + px + q = 0$ saknes apmierina divus nosacījumus:
$x_1 + x_2 = -p$   un   $x_1 \cdot x_2 = q$.

2. Mūsu vienādojums. $x^2 - 3x + 2 = 0$, tāpēc $p = -3$, $q = 2$.
Meklējam divus skaitļus, kas summā dod $3$ un reizinājumā $2$.

3. Sistemātiska meklēšana. Sadalām $2$ pozitīvos reizinātāju pāros un pārbaudām katra summu:
$1 \cdot 2 = 2$ (summa $3$ — der!).

4. Atrisinājums. $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

5. Pārbaude — ievietojam vienādojumā:
$x = 1$:   $1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ ✓
$x = 2$:   $2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ ✓

6. Distraktoru analīze.
• $x_1 = -1, x_2 = -2$ — apgrieztas zīmes — Vjeta teorēmā saknes summa ir $-p$ (zīme MAINĀS), bet šeit nepareizi paturēta $p$ zīme. Pārbaude: $(-1) + (-2) = -3$, kas neatbilst saknes summai $3$.
• $x_1 = 2, x_2 = 3$ — abas saknes par 1 lielākas. Summa $5$ un reizinājums $6$ — neviens neatbilst Vjeta nosacījumiem ($3$ un $2$).
• $x_1 = 1, x_2 = 4$ — viena sakne pareiza, otra par 2 par lielu. Tipiska kļūda, kad atrod pirmo dalītāju, bet pārējos pārmeklēšanas soļus izlaiž.

7. Faktorizēta forma. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Alternatīvi caur diskriminantu: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$. $\sqrt{D} = 1$. $x = \dfrac{3 \pm 1}{2}$.

Atrisinājums:
1. Kā atbrīvoties no saknes? Kāpinām kvadrātā abas puses. Sakne un kvadrāts viens otru atceļ.

2. Kāpinām. $\left(\sqrt{x + 9}\right)^2 = 6^2$ → $x + 9 = 36$

3. Izsakām $x$. $x = 36 - 9 = 27$

4. PĀRBAUDE — te tā nav brīvprātīga. $\sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$ ✓
Kāpināšana kvadrātā var radīt svešas saknes — skaitļus, kas apmierina kāpināto vienādojumu, bet ne sākotnējo. Tāpēc atrisinājums nav pabeigts, kamēr nav pārbaudīts.

5. Ko vēl pārbaudīt. Zem saknes esošajai izteiksmei jābūt $\geq 0$, un labajai pusei arī — negatīvai labajai pusei atrisinājuma nav vispār.

Atrisinājums:
1. Pakāpju īpašība. Reizinot pakāpes ar VIENĀDU bāzi, kāpinātājus saskaita:
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$.

2. Kāpēc tā? Pakāpe nozīmē atkārtotu reizinājumu:
$7^{6} = \underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}_{6 \text{ reizes}}$
$7^{3} = \underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7}_{3 \text{ reizes}}$
Reizinājumā kopā $6 + 3 = 9$ reizinātāju, visi $7$.

3. Lietojam mūsu uzdevumam.
$7^{6} \cdot 7^{3} = 7^{6+3} = 7^{9}$.

4. Atbilde. $7^{9}$ (skaitliski $= 40353607$, bet eksponenta forma ir gan īsāka, gan precīzāka).

5. Distraktoru analīze.
• $7^{18}$ — kāpinātāji sareizināti, nevis saskaitīti. Tā ir vissvarīgākā kļūda: jaucas reizināšanas likums $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ar pakāpes pakāpes likumu $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• $7^{10}$ — kāpinātāji saskaitīti, bet pieskaitīts viens lieks. Tipiska "off-by-one" kļūda, kas rodas, ja, piem., domā ka rezultātā vajag pieskaitīt pašu bāzi vai $1$.
• $7^{8}$ — par 1 par mazs eksponents. Bieža kļūda, ja viens no kāpinātājiem skaitīts kā $0$, nevis $1$, vai aizmirsts viens reizinātājs.

6. Bieža kļūda. NEREIZINI kāpinātājus! $7^{6} \cdot 7^{3} \ne 7^{18}$. Reizināt liek pakāpes pakāpē: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Atrisinājums:
1. Nulles. Skaitītājs ir nulle pie $x = -6$, saucējs — pie $x = -2$. Punktā $x = -2$ daļa nav definēta, tāpēc tas NEKAD nepieder atrisinājumam.

2. Zīmju metode. Uz skaitļu ass atzīmējam $-6$ un $-2$; daļas zīme mainās pie katra no tiem.

3. Atbilde. Daļa ir POZITĪVA ārpus nullēm: $(-\infty; -6) \cup (-2; +\infty)$.

4. Biežākā kļūda. Reizināt abas puses ar saucēju. To darīt nedrīkst — saucēja zīme nav zināma, un, reizinot ar negatīvu, nevienādības zīme mainītos.