11. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Pamatprincips. Ja $a^{p} = a^{q}$ (vienāda bāze abās pusēs), tad $p = q$. Mērķis ir abās pusēs panākt vienu un to pašu bāzi.

2. Pārveido labo pusi. $32$ jāizsaka kā $2$ pakāpe:
$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32$.
Atrasts: $32 = 2^{5}$.

3. Pārraksti vienādojumu. $2^{x + 2} = 2^{5}$.

4. Vienādo eksponentus. Tā kā bāze ir tāda pati, eksponenti ir vienādi:
$x + 2 = 5$

5. Atrisini par $x$. Pārvietojam $+2$ uz labo pusi:
$x = 5 - 2 = 3$.

6. Distraktoru analīze.
• $x = 4$ — par 1 par lielu. Bieža kļūda: pārvietojot konstanti, izmantota nepareiza zīme (saskaitīts, kad bija jāatņem, vai otrādi).
• $x = 2$ — par 1 par mazu. Tipiska "off-by-one" — pārskaitījies par vienu vai aizmirsis vienu soli pakāpju kāpināšanā.
• $x = 5$ — skolēns apstājies pēc eksponentu vienādošanas un aizmirsis atrisināt vienādojumu $x + 2 = 5$. Tas ir RHS eksponents, ne $x$.

7. Pārbaude. Ievietojam $x = 3$:
$2^{3 + 2} = 2^{5} = 32$ ✓

Atrisinājums:
1. Logaritma definīcija. $\log_{a} b = c$ nozīmē "kādā pakāpē jākāpina $a$, lai iegūtu $b$?" Citiem vārdiem: $a^c = b$.

2. Mūsu uzdevums. $\log_{2} 32$ — kādā pakāpē jākāpina $2$, lai iegūtu $32$?

3. Sistemātiskā pārveidošana. Mēģinām izteikt $32$ kā $2$ pakāpi:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
Atrasts: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

4. Atbilde. $\log_{2} 32 = 5$.

5. Distraktoru analīze.
• $10$ — pakāpe reizināta ar $2$; jaukts $\log_a b$ ar $\log_a b^2$. $2^{10} = 1024$.
• $6$ — pakāpe noklīdusi par vienu soli: $2^{6} = 64 \ne 32$.
• $8$ — pārbaudi: $2^{8} = 256$, bet vajag $32$.

6. Pārbaude. $2^{5} = 32$ ✓ — tieši tā, ko mēs sākotnēji uzdevām atrast.

Atrisinājums:
1. Aritmētiskā progresija. Skaitļu virkne, kurā katrs nākamais loceklis iegūts, pievienojot iepriekšējam KONSTANTU starpību $d$ (diferenci).
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, jāveic $(n-1)$ "lēcieni" pa $d$ no pirmā locekļa.

3. Atzīmē, kas dots. $a_1 = 5$, $d = 6$, $n = 5$.

4. Aprēķini.
$a_{5} = 5 + (5 - 1) \cdot 6$
$a_{5} = 5 + 4 \cdot 6$
$a_{5} = 5 + 24$
$a_{5} = 29$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $35$ — skolēns lietojis $a_1 + n \cdot d$ vietā $a_1 + (n-1) \cdot d$. Klasiskā "off-by-one" kļūda — aizmirsis, ka pirmajam loceklim koeficients pie $d$ ir 0, ne 1.
• $120$ — skolēns REIZINĀJIS $a_1$ ar $d \cdot (n-1)$, sajaucot aritmētisko progresiju ar ģeometrisko (kur tiek lietots reizinājums).
• $33$ — skolēns lietojis $(d+1)$ vietā $d$, sasaucies aprēķinos ar diferenci.

6. Pārbaude. No $a_1$ līdz $a_{5}$ ir $4$ soļi pa $6$, tāpēc kopējā maiņa ir $24$. Sākot no $5$, beigu vērtība ir $29$ ✓

7. Bieža kļūda. Aizmirst, ka koeficients pie $d$ ir $(n-1)$, NEVIS $n$. Pirmais loceklis ($n=1$) ir tieši $a_1$, tāpēc no $a_1$ līdz $a_n$ ir $n-1$ soļi.

Atrisinājums:
1. Ģeometriskā progresija. Virkne, kurā katrs nākamais loceklis = iepriekšējais REIZINĀTS ar konstanti $q$ (kvocientu).
$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

2. N-tā locekļa formula. $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Atmiņas palīgs: lai nokļūtu līdz $n$-tajam loceklim, vajag $(n-1)$ reizes reizināt ar $q$.

3. Atšķirība no aritmētiskās. Aritmētiskā — pieskaita $d$. Ģeometriskā — reizina ar $q$. Tāpēc ģeometriskā aug eksponenciāli, ne lineāri.

4. Atzīmē, kas dots. $b_1 = 1$, $q = -2$, $n = 4$.

5. Aprēķini.
$b_{4} = 1 \cdot -2^{3}$
$-2^{3} = -8$
$b_{4} = 1 \cdot -8 = -8$.

6. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $16$ — skolēns lietojis $q^n$ vietā $q^{n-1}$. Klasiska "off-by-one" kļūda — pakāpe ir $(n-1)$, jo pirmajam loceklim pakāpe ir 0, ne 1.
• $-5$ — skolēns sajaucis ģeometrisko progresiju ar aritmētisko (pieskaitīšana $a_1 + (n-1)q$ vietā reizināšanas $b_1 \cdot q^{n-1}$).
• $-2$ — skolēns kāpinājis $b_1$ pakāpē, jaucot lomas: $b_1$ ir pirmais loceklis (paliek konstants), bet $q$ ir kvocients (kāpinās).

7. Pārbaude (uzskaitot virkni). $b_1 = 1$, $b_2 = -2$, $b_3 = 4$, $b_4 = -8$. ✓

Atrisinājums:
Saliktā funkcija. Vispirms iekšējā $g$, tad ārējā $f$.

1. $g(1) = 4\cdot(1) + 2 = 6$.
2. $f(6) = 3\cdot(6) + 1 = 19$.

Tātad $f(g(1)) = 19$.