8. klases matemātikas uzdevumi ar atrisinājumiem

Atrisinājums:
1. Mērķis. Atrast $x$, kas padara vienādojumu patiesu.

2. Pirmais solis: pārvietot konstanti. $7x + 1 = 85$. Lai $7x$ paliktu viens, atņemam 1 no abām pusēm:
$7x + 1 - 1 = 85 - 1$
$7x = 84$

3. Otrais solis: dalīt ar koeficientu. Lai $x$ paliktu viens, dalām abas puses ar 7:
$\dfrac{7x}{7} = \dfrac{84}{7}$
$x = 12$

4. Tipisku kļūdaino atbilžu analīze.
• $x = 84$ — skolēns apstājies pēc pirmā soļa ($7x = 84$) un aizmirsis dalīt ar koeficientu $7$. Tipiska "puse darba" kļūda.
• $x = 12{,}29$ — skolēns PIESKAITĪJA $1$ tā vietā, lai atņemtu (zīmes kļūda). Pārvietojot konstanti, zīme vienmēr mainās.
• $x = 12{,}14$ — skolēns ignorējis konstanti $1$ un dalījis $85$ ar $7$ uzreiz.
• $x = 85$ — skolēns ievadījis labās puses skaitli, neveicot nekādus aprēķinus.

5. Pārbaude. Ievietojam atpakaļ:
$7 \cdot 12 + 1 = 84 + 1 = 85$ ✓

Atrisinājums:
1. Pitagora teorēma. $a^2 + b^2 = c^2$, kur $c$ ir hipotenūza.

2. Pārkārto formulu. Mēs zinām hipotenūzu $c = 26$ un vienu kateti $= 24$. Otrā katete:
$\text{nezināmā}^2 = c^2 - \text{zināmā katete}^2$
$\text{nezināmā}^2 = 26^2 - 24^2$

3. Aprēķini.
$c^2 = 26^2 = 676$
$\text{zināmā}^2 = 24^2 = 576$
$\text{nezināmā}^2 = 676 - 576 = 100$

4. Sakņo. $\text{nezināmā} = \sqrt{100} = 10$.

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $11$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{100} = 10$.
• $50$ — SASKAITĪTA hipotenūza ar zināmo kateti. Pitagora teorēma saista KVADRĀTUS: $c^2 - a^2$, ne $c + a$.
• $15$ — aprēķina vai saknes kļūda; $\sqrt{100} = 10$.

6. Pārbaude. $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$ ✓

7. Atpazīšana. Šis ir $10-24-26 (5-12-13 reizināts ar 2)$ Pitagora trijnieks.

Atrisinājums:
1. Riņķa laukuma formula. $S = \pi r^2$, kur $r$ ir rādiuss (no centra līdz aplim).

2. Aprēķini.
$S = \pi \cdot 6^2 = \pi \cdot 36 = 36\pi$ cm².

3. Skaitliski. Ar $\pi \approx 3{,}14$: $S \approx 36 \cdot 3{,}14 \approx 113{,}04$ cm².

4. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $12\pi$ — skolēns aprēķinājis apkārtmēru $2\pi r$, ne laukumu — garumam lieto $r$, laukumam $r^2$.
• $216\pi$ — skolēns kāpinājis kubā — kubs ir tilpumam, laukumam vajag kvadrātu.
• $72\pi$ — skolēns pareizinājis ar 2, sajaucot ar apkārtmēra formulas divnieku.

5. Bieža kļūda. Nesajauc ar riņķa apkārtmēru $L = 2\pi r$. Laukums izmanto $r^2$, garums — $r$.

6. Atmiņas palīgs. Laukums vienmēr aug ātrāk nekā garums (kvadrātiski, ne lineāri). Ja rādiuss dubultojas, laukums pieaug 4 reizes.

Atrisinājums:
1. Vidējā aritmētiskā formula. $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ — saskaiti visas vērtības un dali ar to skaitu.

2. Atzīmē, kas dots. Datu kopa: 8, 18, 15, 9, 12, 1, 10, 7. Skaitļu skaits $n = 8$.

3. Aprēķini summu.
$8 + 18 + 15 + 9 + 12 + 1 + 10 + 7 = 80$

4. Dali ar skaitu.
$\bar{x} = \dfrac{80}{8} = 10$

5. Distraktoru analīze. Tipiskās kļūdas:
• $80$ — skolēns aprēķinājis tikai SUMMU, aizmirstot dalīt ar elementu skaitu. "Puse darba" — pareiza summa, bet bez dalīšanas.
• $12$ — skolēns paņēmis vidējo elementu no NESAKĀRTOTAS virknes (sajaucot ar mediānu). Vidējais aritmētiskais nav saistīts ar pozīciju.
• $15$ — skolēns saskaitījis tikai pirmo un pēdējo elementu, neietvero pārējos.

6. Saprātīguma pārbaude. Vidējam jābūt starp minimumu (1) un maksimumu (18). Mūsu atbilde 10 der ✓

7. Atšķirība no mediānas un modas. Vidējais aritmētiskais — summa/skaits. Mediāna — vidējais elements pēc sakārtošanas. Moda — visbiežākais. Šie trīs visbiežāk atšķiras!

Atrisinājums:
1. Ko nozīmē „izsakīt"? Jāpārraksta formula tā, lai $F$ paliek viens pats vienā pusē. Pati sakarība nemainās — mainās tikai pieraksts.

2. Atbrīvojam $F$ soli pa solim. Reizinām ar $F$: $DF = 1$. Dalām ar $D$.

3. Atbilde. $F = \dfrac{1}{D}$

4. Pārbaude. Ievieto iegūto atpakaļ sākotnējā formulā — ja sanāk patiess vienādojums, pārveidojums ir pareizs. Tas der vienmēr, arī eksāmenā.

5. Bieža kļūda. Apgriezt daļu otrādi. Ja $F$ sākotnēji ir saucējā, tad pēc pārveidošanas tas nonāk skaitītājā — bet pārējais nemaina vietu automātiski. Vienmēr izdari darbību ar ABĀM pusēm.